Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

a) Número de onda. Comparando con $y = A\,\text{sen}(kx - \omega t + \phi_0)$, la frecuencia angular es $\omega = 200\pi\,\text{rad/s}$. La velocidad de propagación cumple $v = \omega/k$:$$k = \frac{\omega}{v} = \frac{200\pi}{400} = \frac{\pi}{2}\,\text{rad/m} \approx 1{,}57\,\text{rad/m}$$(Corresponde a una longitud de onda $\lambda = 2\pi/k = 4\,\text{m}$ y una frecuencia de $100\,\text{Hz}$.)

Primera condición. En $x = 0$, $t = 0$:$$y(0,0) = 3\,\text{sen}\,\phi_0 = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\phi_0 = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \phi_0 = \frac{\pi}{6}\ \ \text{o}\ \ \phi_0 = \frac{5\pi}{6}$$Velocidad de oscilación. Derivamos respecto del tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -3\cdot200\pi\,\cos\,(kx - 200\pi t + \phi_0)\ \text{cm/s}$$$$v_y(0,0) = -600\pi\,\cos\,\phi_0$$Segunda condición. Para que $v_y(0,0) > 0$ hace falta $\cos\phi_0 < 0$. De las dos candidatas, $\cos(\pi/6) = \sqrt3/2 > 0$ no sirve y $\cos(5\pi/6) = -\sqrt3/2 < 0$ sí:$$\phi_0 = \frac{5\pi}{6}\,\text{rad}$$b) Aceleración de oscilación. Derivamos otra vez:$$a_y(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -3\,(200\pi)^2\,\text{sen}\,(kx - 200\pi t + \phi_0)\ \text{cm/s}^2 = -\omega^2\,y$$Aceleración máxima. Es máxima cuando el seno vale $\pm1$, es decir, en los extremos de la oscilación. Con la amplitud en metros, $A = 0{,}03\,\text{m}$:$$a_\text{máx} = A\,\omega^2 = 0{,}03\cdot(200\pi)^2 \approx 1{,}18\cdot10^{4}\,\text{m/s}^2$$Es la misma para todos los puntos del eje $x$, porque todos vibran con la misma amplitud y la misma frecuencia.