Problema resuelto de Física: Campo magnético creado por corrientesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

Esquema. Colocamos los dos hilos perpendiculares al papel, separados una distancia $d$ sobre el eje $X$: el hilo 1 en $x = 0$ y el hilo 2 en $x = d$, ambos con la corriente saliendo del papel (hacia $+\vec k$).

a) Campo de cada corriente. Por la ley de Biot y Savart (o de Ampère), un hilo rectilíneo e indefinido crea a una distancia $r$ un campo de módulo$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$Sus líneas de campo son circunferencias concéntricas con el hilo, en planos perpendiculares a él, y el campo es tangente a ellas en cada punto. El sentido lo da la regla de la mano derecha: con el pulgar en el sentido de la corriente, los dedos se cierran en el sentido de $\vec B$. Con las corrientes saliendo del papel, las líneas giran en sentido antihorario alrededor de cada hilo. En el esquema: a la derecha del hilo 1 su campo apunta hacia $+\vec\jmath$ (arriba) y a su izquierda, hacia $-\vec\jmath$; lo mismo con el hilo 2. Por eso, entre los hilos los dos campos tienen sentidos opuestos (el del hilo 1 hacia arriba y el del hilo 2 hacia abajo), y fuera de ellos tienen el mismo sentido.

b) Fuerza sobre cada conductor. Sobre un tramo de longitud $L$ del hilo 2 actúa el campo del hilo 1, que allí vale $B_1 = \mu_0 I/(2\pi d)$ y apunta hacia $+\vec\jmath$:$$\vec F_{12} = I\,\vec L\times\vec B_1 = I L B_1\,(\vec k\times\vec\jmath) = -I L B_1\,\vec\imath$$La fuerza sobre el hilo 2 apunta hacia el hilo 1. Del mismo modo, sobre el hilo 1 actúa el campo del 2, que en $x = 0$ apunta hacia $-\vec\jmath$, y $\vec k\times(-\vec\jmath) = +\vec\imath$: la fuerza apunta hacia el hilo 2. Las fuerzas son perpendiculares a los hilos, están en el plano que los contiene, son iguales y opuestas (tercera ley de Newton) y su módulo por unidad de longitud es$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$Corrientes del mismo sentido se atraen.

c) Campo de cada hilo en el punto medio. Ahora $I_1 = 9\,\text{A}$, $I_2 = 15\,\text{A}$ y $d = 0{,}06\,\text{m}$; el punto medio está a $r = 0{,}03\,\text{m}$ de cada hilo:$$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot9}{2\pi\cdot0{,}03} = 6\cdot10^{-5}\,\text{T}\quad(\text{hacia } +\vec\jmath)$$$$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot15}{2\pi\cdot0{,}03} = 1\cdot10^{-4}\,\text{T}\quad(\text{hacia } -\vec\jmath)$$Campo resultante. Los dos campos tienen la misma dirección (perpendicular al plano de los hilos) y sentidos opuestos, así que se restan:$$\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 = (6\cdot10^{-5} - 1\cdot10^{-4})\,\vec\jmath = -4\cdot10^{-5}\,\vec\jmath\ \text{T}$$Su módulo es $4\cdot10^{-5}\,\text{T}$, perpendicular al plano que contiene los dos hilos y con el sentido del campo del hilo de $15\,\text{A}$, que es el que más contribuye. En el esquema se dibuja en el punto medio una flecha vertical hacia abajo (con las corrientes saliendo del papel).

d) Punto de campo nulo. Entre los hilos los campos son opuestos, así que el campo se anula en el punto, a una distancia $x$ del hilo de $9\,\text{A}$, donde los módulos son iguales:$$\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d - x)} \quad\Longrightarrow\quad I_1 (d - x) = I_2\, x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{I_1\, d}{I_1 + I_2}$$$$x = \frac{9\cdot0{,}06}{9 + 15} = 0{,}0225\,\text{m} = 2{,}25\,\text{cm}$$Tiene sentido: el punto está más cerca del hilo de menor corriente (a $2{,}25\,\text{cm}$ del de $9\,\text{A}$ y a $3{,}75\,\text{cm}$ del de $15\,\text{A}$).