FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Problema resuelto de Física: Efecto fotoeléctrico y cuantizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda

\lambda_1 = 200\ \text{nm}

, el potencial de frenado de los fotoelectrones es de

2\ \text{V}

, mientras que si la longitud de onda es un

20\,\%

mayor, el potencial de frenado se reduce a

1\ \text{V}

.

Obtén, razonadamente:

a) el valor que resulta para la constante de Planck,

h

, en esta experiencia, (1,5 puntos)

b) el trabajo de extracción del metal. (1 punto)

Datos:

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

;

q_e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

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Resultado

h = \dfrac{e\,(V_1 - V_2)\,\lambda_1\lambda_2}{c\,(\lambda_2 - \lambda_1)} = 6{,}4\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

.

b)

W_0 = 6{,}4\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 4{,}0\ \text{eV}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El potencial de frenado mide la energía cinética máxima de los electrones: hace falta una diferencia de potencial

V_f

para pararlos, así que

E_{c,\max} = e\,V_f

. Con la ecuación de Einstein, cada medida da una ecuación:

\frac{h\,c}{\lambda} = W_0 + e\,V_f

Tenemos dos medidas y dos incógnitas (

h

W_0

). Restando las ecuaciones desaparece

W_0

y sale

h

; con

h

, cualquiera de las dos da

W_0

. Es el mismo método con el que Millikan midió la constante de Planck.

Desarrollo

Datos. La segunda longitud de onda es un 20 % mayor:

\lambda_1 = 200\ \text{nm} = 2\cdot 10^{-7}\ \text{m}\qquad \lambda_2 = 1{,}2\,\lambda_1 = 240\ \text{nm} = 2{,}4\cdot 10^{-7}\ \text{m}

con

V_1 = 2\ \text{V}

V_2 = 1\ \text{V}

(a mayor longitud de onda, fotones menos energéticos y electrones más lentos: tiene sentido que el potencial baje).

Ecuaciones de las dos medidas.

\frac{h\,c}{\lambda_1} = W_0 + e\,V_1\qquad\qquad \frac{h\,c}{\lambda_2} = W_0 + e\,V_2

a) Constante de Planck. Restando la segunda de la primera:

h\,c\left(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right) = e\,(V_1 - V_2)\quad\Longrightarrow\quad h = \frac{e\,(V_1 - V_2)\,\lambda_1\,\lambda_2}{c\,(\lambda_2 - \lambda_1)}

h = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot (2 - 1)\cdot 2\cdot 10^{-7}\cdot 2{,}4\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{8}\cdot (2{,}4\cdot 10^{-7} - 2\cdot 10^{-7})} = \frac{7{,}68\cdot 10^{-33}}{12} = 6{,}4\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

Es un 3 % menor que el valor aceptado (

6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

), algo razonable para una medida experimental.

b) Trabajo de extracción. De la primera ecuación, con el

h

obtenido:

\frac{h\,c}{\lambda_1} = \frac{6{,}4\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{2\cdot 10^{-7}} = 9{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}\qquad e\,V_1 = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 2 = 3{,}2\cdot 10^{-19}\ \text{J}

W_0 = \frac{h\,c}{\lambda_1} - e\,V_1 = 9{,}6\cdot 10^{-19} - 3{,}2\cdot 10^{-19} = 6{,}4\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 4{,}0\ \text{eV}

Comprobación con la segunda medida:

hc/\lambda_2 = 8{,}0\cdot 10^{-19}\ \text{J}

8{,}0\cdot 10^{-19} - 1{,}6\cdot 10^{-19} = 6{,}4\cdot 10^{-19}\ \text{J}

. Coincide.

Consejo

El «20 % mayor» se traduce en $\lambda_2 = 1{,}2\,\lambda_1$ : escríbelo explícitamente para que el corrector vea de dónde sale $240\ \text{nm}$ .

Plantea las dos ecuaciones de Einstein antes de sustituir y réstalas en forma simbólica; así no arrastras errores con las potencias de diez.

Comprueba el trabajo de extracción con la otra medida: si no cuadra, hay un error en $h$ .