FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

La energía mecánica de una partícula que realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje

OX

, y en torno al origen, vale

3\cdot 10^{-5}\ \text{J}

; y la fuerza máxima que actúa sobre ella es de

1{,}5\cdot 10^{-3}\ \text{N}

.

a) Determina la amplitud del movimiento. (0,75 puntos)

b) Si el periodo de oscilación es de

2\ \text{s}

, y en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición

x_0 = 2\ \text{cm}

, calcula: la frecuencia angular, la fase inicial y escribe la ecuación de movimiento. (1,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 2E/F_{\max} = 4\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 4\ \text{cm}

.

b)

\omega = \pi\ \text{rad/s}

;

\varphi_0 = \pi/3\ \text{rad}

(con coseno);

x(t) = 0{,}04\cos(\pi t + \pi/3)\ \text{m}

. Con

-\pi/3

(o con seno,

\pi/6

) también cumple

x_0 = 2\ \text{cm}

: el enunciado no fija el sentido inicial.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un MAS la fuerza es recuperadora,

F = -kx

, y es máxima en los extremos, donde

|x| = A

F_{\max} = kA

. La energía mecánica total es

E = \tfrac12 kA^2

. No conocemos

k

, pero al dividir las dos expresiones desaparece:

E/F_{\max} = A/2

.

Con el periodo sale la frecuencia angular,

\omega = 2\pi/T

, y la fase inicial se obtiene imponiendo la posición en

t = 0

en la ecuación del movimiento.

Desarrollo

a) Amplitud.

F_{\max} = k\,A\qquad E = \tfrac12\,k\,A^2\quad\Longrightarrow\quad \frac{E}{F_{\max}} = \frac{A}{2}\quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2E}{F_{\max}}

A = \frac{2\cdot 3\cdot 10^{-5}}{1{,}5\cdot 10^{-3}} = 4\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 4\ \text{cm}

(De paso,

k = F_{\max}/A = 3{,}75\cdot 10^{-2}\ \text{N/m}

.)

b) Frecuencia angular.

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\ \text{rad/s}

Fase inicial. Escribimos la ecuación del movimiento como

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)

. En

t = 0

x_0 = A\cos\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi_0 = \frac{x_0}{A} = \frac{0{,}02}{0{,}04} = 0{,}5\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}

El coseno vale

0{,}5

también para

\varphi_0 = -\pi/3

. El enunciado no dice hacia dónde se mueve la partícula al principio, así que las dos son posibles: con

\varphi_0 = \pi/3

la velocidad inicial,

v_0 = -A\omega\sin\varphi_0

, es negativa (se mueve hacia el origen); con

-\pi/3

, positiva (se aleja hacia el extremo). Tomamos

\varphi_0 = \pi/3

.

Ecuación del movimiento.

x(t) = 0{,}04\,\cos\!\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\ \ \text{m}

Si se prefiere la forma con seno,

x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0')

, entonces

\sin\varphi_0' = 0{,}5

\varphi_0' = 5\pi/6

(equivale a la anterior, que se mueve hacia el origen) o

\pi/6

x(t) = 0{,}04\,\sin\!\left(\pi t + \frac{5\pi}{6}\right)\ \ \text{m}

Consejo

Di siempre qué forma de la ecuación usas (seno o coseno): la fase inicial depende de ello y el corrector la compara con tu elección.

Pasa los centímetros a metros antes de dar la ecuación final, y fíjate en que el cociente $E/F_{\max}$ elimina la constante $k$ que no te dan.