FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Enunciado

Como parte de una jornada de puertas abiertas organizada por SENER Aeroespacial para inspirar a futuras generaciones de físicos y físicas, así como ingenieros e ingenieras, has tenido la oportunidad de participar en un proyecto real. SENER, en colaboración con el Gobierno Vasco y el Parque Tecnológico de Álava, está desarrollando una nueva generación de satélites para monitorizar el cambio climático, y mejorar la gestión de recursos en Euskadi.

Durante tu visita, te asignan un problema crucial: uno de los satélites en desarrollo, con una masa de

400\ \text{kg}

, se encuentra en una órbita circular a una altura (

h

) sobre la superficie terrestre. El equipo de SENER ha determinado que la gravedad a esa altura es un tercio de la gravedad en la superficie terrestre. Utilizando tus conocimientos de física, debes ayudar a resolver lo siguiente:

a) Explica detalladamente si se requiere realizar trabajo para mantener el satélite en su órbita, y justifica tu respuesta usando principios físicos como la conservación de la energía y el movimiento en un campo gravitatorio. (0,75 puntos)

b) Calcula las características principales de la órbita. (0,75 puntos)

c) Determina la altura (

h

) del satélite sobre la superficie terrestre. (0,5 puntos)

d) Calcula el período de la órbita y la energía mecánica total del satélite. (0,5 puntos)

Al resolver este problema, no solo tendrás la oportunidad de aplicar tus conocimientos de física a un escenario real, sino que también podrás contribuir directamente al desarrollo de una tecnología que tiene implicaciones significativas para el seguimiento del cambio climático y la gestión de recursos en la región. Esta experiencia te brindará una perspectiva única sobre las aplicaciones prácticas de la física y la ingeniería en el campo aeroespacial.

Datos:

g = 9{,}8\ \text{m/s}^2

(aceleración de la gravedad en la superficie terrestre);

R_T = 6{,}4\times 10^{6}\ \text{m}

(radio de la Tierra).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) No: la fuerza gravitatoria es perpendicular a la velocidad, no hace trabajo;

E_c

E_p

son constantes.

b)

r = \sqrt3\,R_T = 1{,}11\cdot 10^{7}\ \text{m}

;

v = 6{,}02\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

;

\omega = 5{,}43\cdot 10^{-4}\ \text{rad/s}

;

a_c = 3{,}27\ \text{m/s}^2

.

c)

h = R_T(\sqrt3 - 1) = 4{,}69\cdot 10^{6}\ \text{m}

.

d)

T = 1{,}16\cdot 10^{4}\ \text{s}\ (\approx 3{,}2\ \text{h})

;

E = -7{,}24\cdot 10^{9}\ \text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave de todo el problema es el dato «la gravedad a esa altura es un tercio de la de la superficie». Como

g

va con

1/r^2

, ese cociente da directamente el radio de la órbita en función de

R_T

, sin necesidad de conocer

G

M_T

: basta con sustituir

GM_T = g\,R_T^2

(la gravedad en la superficie).

Con el radio, la órbita circular se describe con la condición «fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta», que da la velocidad orbital, la velocidad angular y el periodo. La energía mecánica de un satélite en órbita circular es la mitad de su energía potencial,

E = -GM_Tm/2r

.

Para el apartado a), lo que hay que ver es que la fuerza gravitatoria es siempre perpendicular a la velocidad en una órbita circular: no hace trabajo, la energía cinética no cambia y la potencial tampoco (el radio es constante).

El orden del examen pide las características de la órbita (b) antes que la altura (c), pero para dar números en b) necesitamos el radio. Lo calculamos en b) y en c) solo restamos el radio terrestre.

Desarrollo

a) ¿Hace falta trabajo para mantenerlo en órbita? No. Sobre el satélite solo actúa la fuerza gravitatoria de la Tierra, dirigida hacia el centro de la órbita. En una órbita circular la velocidad es tangente a la trayectoria, así que la fuerza es perpendicular al desplazamiento en cada instante:

dW = \vec F\cdot d\vec r = F\,dr\,\cos 90^\circ = 0

Lo mismo se ve con la energía. La fuerza gravitatoria es conservativa, así que la energía mecánica del satélite se conserva:

E = E_c + E_p = \tfrac12 m v^2 - \frac{GM_Tm}{r} = \text{cte}

Como

r

no cambia,

E_p

es constante; y entonces

E_c

también lo es: la rapidez del satélite no cambia. Por el teorema de las fuerzas vivas,

W = \Delta E_c = 0

. La fuerza gravitatoria solo cambia la dirección de la velocidad (es la fuerza centrípeta), no su módulo. Por eso, una vez en órbita (y sin rozamiento con la atmósfera), el satélite sigue girando sin gastar energía: no hay que hacer trabajo para mantenerlo. Sí habría que hacerlo para cambiarlo de órbita o para compensar el rozamiento de una atmósfera residual.

b) Radio de la órbita. La gravedad a una distancia

r

del centro y en la superficie son

g_h = \frac{GM_T}{r^2}\qquad g = \frac{GM_T}{R_T^2}

Dividiendo, con

g_h = g/3

\frac{g_h}{g} = \frac{R_T^2}{r^2} = \frac13\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt3\,R_T = \sqrt3\cdot 6{,}4\cdot 10^{6} = 1{,}11\cdot 10^{7}\ \text{m}

Velocidad orbital. En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

\frac{GM_Tm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} = \sqrt{\frac{g\,R_T^2}{r}}

v = \sqrt{\frac{9{,}8\cdot (6{,}4\cdot 10^{6})^2}{1{,}1085\cdot 10^{7}}} = 6{,}02\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

Velocidad angular y aceleración. El movimiento es circular uniforme, con

\omega = \frac{v}{r} = \frac{6017{,}6}{1{,}1085\cdot 10^{7}} = 5{,}43\cdot 10^{-4}\ \text{rad/s}

y su aceleración (centrípeta) es la gravedad a esa altura,

a_c = g_h = 9{,}8/3 = 3{,}27\ \text{m/s}^2

, dirigida hacia el centro de la Tierra. El periodo, que es la otra característica de la órbita, se calcula en d).

c) Altura sobre la superficie.

h = r - R_T = R_T\,(\sqrt3 - 1) = 6{,}4\cdot 10^{6}\cdot 0{,}732 = 4{,}69\cdot 10^{6}\ \text{m}

Unos

4690\ \text{km}

sobre la superficie.

d) Periodo. Una vuelta completa a velocidad constante:

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{g\,R_T^2}} = \frac{2\pi\cdot 1{,}1085\cdot 10^{7}}{6017{,}6} = 1{,}16\cdot 10^{4}\ \text{s}

Es decir, unas

3{,}2

horas. (Es la tercera ley de Kepler,

T^2 = 4\pi^2r^3/GM_T

.)

Energía mecánica. Con

v^2 = GM_T/r

, la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial:

E = \tfrac12 m\,\frac{GM_T}{r} - \frac{GM_Tm}{r} = -\frac{GM_Tm}{2r} = -\frac{g\,R_T^2\,m}{2r}

E = -\frac{9{,}8\cdot (6{,}4\cdot 10^{6})^2\cdot 400}{2\cdot 1{,}1085\cdot 10^{7}} = -7{,}24\cdot 10^{9}\ \text{J}

Es negativa, como corresponde a un satélite ligado a la Tierra (

E_c = 7{,}24\cdot 10^{9}\ \text{J}

E_p = -1{,}45\cdot 10^{10}\ \text{J}

Consejo

Cuando el enunciado no da $G$ ni $M_T$ pero sí $g$ y $R_T$ , la herramienta es $GM_T = g\,R_T^2$ : sustitúyela en cada fórmula.

En el apartado teórico no basta con decir «no hace trabajo»: los criterios valoran el razonamiento, así que di por qué (fuerza perpendicular al desplazamiento, energía conservada) con palabras y con la expresión del trabajo.

Ojo con no confundir $r$ (desde el centro de la Tierra) con $h$ (desde la superficie).

Paso 1 de 3

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