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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

1500\,\text{m}

de la casa de Juan hay una mina a cielo abierto donde se utilizan explosiones para extraer mármol. Con la ayuda de un sonómetro Juan mide el nivel de intensidad sonora de una de estas explosiones, arrojando una lectura de

20\,\text{dB}

. Si consideramos que todas las explosiones son idénticas, determine:

a) (1 punto) La potencia de dichas explosiones.

b) (0,5 puntos) Si el micrófono del sonómetro encargado de medir la onda sonora tiene una superficie de

2\,\text{cm}^2

, calcule la potencia que ha detectado el micrófono.

La normativa legal impide que se sobrepasen los

55\,\text{dB}

en las poblaciones urbanas. Sabiendo que la casa más cercana al punto donde se están generando las explosiones está a

50

metros,

c) (1 punto) Calcule el número máximo de explosiones que podrían producirse simultáneamente sin sobrepasar el límite legal.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 1\cdot 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P = 2{,}83\cdot 10^{-3}\ \text{W}\qquad P_{mic} = 2{,}0\cdot 10^{-14}\ \text{W}\;}

\boxed{\;n_{\text{máx}} = 3\ \text{explosiones}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tratamos cada explosión como un foco puntual que reparte su potencia por esferas:

I = P/(4\pi r^2)

. Del nivel sonoro,

\beta = 10\log(I/I_0)

, sale la intensidad en casa de Juan y, con la distancia, la potencia.

El micrófono recoge la intensidad por su superficie:

P_{mic} = I\,S

. En c) las intensidades de explosiones simultáneas se suman: con

n

explosiones, la intensidad a

50\,\text{m}

n

veces la de una. Buscamos el mayor

n

entero que no supera la intensidad correspondiente a

55\,\text{dB}

Desarrollo

a) Intensidad en casa de Juan:

I = I_0\,10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{2} = 1{,}0\cdot 10^{-10}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

La potencia se reparte por una esfera de radio

r = 1500\,\text{m}

P = I\cdot 4\pi r^2 = 1{,}0\cdot 10^{-10}\cdot 4\pi\,(1500)^2 = 2{,}83\cdot 10^{-3}\ \text{W}

(Es la potencia sonora; la mayor parte de la energía de una explosión no se emite como sonido.)

b) Con

S = 2\,\text{cm}^2 = 2\cdot 10^{-4}\,\text{m}^2

P_{mic} = I\,S = 1{,}0\cdot 10^{-10}\cdot 2\cdot 10^{-4} = 2{,}0\cdot 10^{-14}\ \text{W}

c) Intensidad máxima permitida, la de

55\,\text{dB}

I_{\text{máx}} = I_0\,10^{5{,}5} = 3{,}16\cdot 10^{-7}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Intensidad de una explosión en la casa más cercana, a

50\,\text{m}

I_1 = \frac{P}{4\pi\,(50)^2} = \frac{2{,}83\cdot 10^{-3}}{3{,}14\cdot 10^{4}} = 9{,}0\cdot 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\quad(\beta_1 = 49{,}5\ \text{dB})

Con

n

explosiones simultáneas la intensidad es

n\,I_1

, que no debe pasar de

I_{\text{máx}}

n \le \frac{I_{\text{máx}}}{I_1} = \frac{3{,}16\cdot 10^{-7}}{9{,}0\cdot 10^{-8}} = 3{,}51

Como

n

es entero, como mucho 3 explosiones simultáneas. Comprobación: con 3,

\beta = 10\log(3\cdot 9{,}0\cdot 10^{-8}/10^{-12}) = 54{,}3\,\text{dB}

; con 4 serían

55{,}6\,\text{dB}

, por encima del límite.

Consejo

Los decibelios no se suman ni se multiplican por el número de focos: pasa a intensidades, súmalas (aquí, $n\,I_1$ ) y vuelve a decibelios si hace falta. Duplicar la intensidad solo sube unos $3\,\text{dB}$ .

Un número de explosiones es entero: si sale $3{,}51$ , la respuesta es $3$ (redondear a $4$ sobrepasaría el límite).