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Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una bobina cuadrada formada por

10

espiras de

10\,\text{cm}

de lado posee una resistencia total de

20\,\Omega

. La bobina se coloca perpendicularmente a un campo variable de módulo

B(t) = B_0\,e^{-t/\tau}

T (

B_0 = 0{,}5\,\text{T}

\tau = 1\,\text{ms}

).

a) (1,5 puntos) Calcule para

t = 2\,\text{ms}

el flujo magnético que atraviesa la bobina, la fuerza electromotriz inducida y la intensidad que circula por ella.

A partir de

t = 3\,\text{ms}

el campo magnético permanece constante y la bobina comienza a rotar con una velocidad angular

\omega

.

b) (1 punto) Calcule el valor de

\omega

necesario para que la intensidad de corriente máxima que circula por la bobina sea de

5\,\text{mA}

.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío,

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\Phi = 6{,}77\cdot 10^{-3}\ \text{Wb}\qquad \varepsilon = 6{,}77\ \text{V}\qquad I = 0{,}338\ \text{A}\;}

\boxed{\;\omega = 40{,}2\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

«Perpendicularmente al campo» significa que el plano de la bobina es perpendicular a

\vec B

: el vector superficie es paralelo al campo y el flujo por las

N

espiras es

\Phi = N B S

. En a) el flujo cambia porque cambia

B

; la ley de Faraday,

\varepsilon = -d\Phi/dt

, da la fem, y la ley de Ohm, la intensidad.

En b) el campo queda congelado en su valor de

t = 3\,\text{ms}

y lo que cambia es el ángulo:

\Phi = N B S\cos(\omega t)

. La fem es sinusoidal con amplitud

N B S\,\omega

, y la intensidad máxima es esa amplitud entre

R

. El dato de

\mu_0

no hace falta.

Desarrollo

a) Superficie de una espira:

S = (0{,}10)^2 = 1{,}0\cdot 10^{-2}\,\text{m}^2

. El flujo total por las

N = 10

espiras:

\Phi(t) = N\,B(t)\,S = 10\cdot 0{,}5\,e^{-t/\tau}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-2} = 5{,}0\cdot 10^{-2}\,e^{-t/\tau}\ \text{Wb}

t = 2\,\text{ms}

t/\tau = 2

\Phi(2\,\text{ms}) = 5{,}0\cdot 10^{-2}\,e^{-2} = 6{,}77\cdot 10^{-3}\ \text{Wb}

Ley de Faraday:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -5{,}0\cdot 10^{-2}\cdot\left(-\frac{1}{\tau}\right)e^{-t/\tau} = \frac{5{,}0\cdot 10^{-2}}{1\cdot 10^{-3}}\,e^{-t/\tau} = 50\,e^{-t/\tau}\ \text{V}

\varepsilon(2\,\text{ms}) = 50\,e^{-2} = 6{,}77\ \text{V}

Es positiva: el flujo disminuye y, por la ley de Lenz, la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo a favor de

\vec B

, para frenar esa disminución. La intensidad:

I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{6{,}77}{20} = 0{,}338\ \text{A}

b) A partir de

t = 3\,\text{ms}

el campo vale

B = 0{,}5\,e^{-3} = 2{,}49\cdot 10^{-2}\ \text{T}

y la bobina gira. Si medimos el tiempo desde que empieza a girar, el ángulo entre

\vec B

y el vector superficie es

\omega t

\Phi = N B S\cos(\omega t)\qquad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = N B S\,\omega\,\text{sen}(\omega t)

La fem máxima es

N B S\,\omega

y la intensidad máxima,

I_{\text{máx}} = N B S\,\omega/R

\omega = \frac{I_{\text{máx}}\,R}{N B S} = \frac{5\cdot 10^{-3}\cdot 20}{10\cdot 2{,}49\cdot 10^{-2}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-2}} = \frac{0{,}10}{2{,}49\cdot 10^{-3}} = 40{,}2\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

Unas

6{,}4

vueltas por segundo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No olvides las $N$ espiras: el flujo (y la fem) de la bobina es $N$ veces el de una espira. Y pasa el lado a metros antes de elevarlo al cuadrado: $10\,\text{cm}$ dan $10^{-2}\,\text{m}^2$ .

En la segunda parte el campo ya no cambia: la fem viene del giro. La amplitud de la fem de una bobina giratoria es $N B S\,\omega$ ; con el campo de $t = 3\,\text{ms}$ , no con $B_0$ .