Campo y potencial eléctrico

a) Vectores de cada carga al punto $P(0,\,2)$:$$\vec r_1 = (0,\,2) - (-2,\,0) = (2,\,2)\ \text{m},\quad r_1 = \sqrt{8}\ \text{m}\qquad \vec r_2 = (0,\,2) - (4,\,0) = (-4,\,2)\ \text{m},\quad r_2 = \sqrt{20}\ \text{m}$$Componentes $y$ de los dos campos:$$E_{1y} = \frac{K q_1}{r_1^3}\cdot 2\qquad E_{2y} = \frac{K q_2}{r_2^3}\cdot 2$$Imponemos $E_{1y} + E_{2y} = 0$:$$\frac{q_1}{r_1^3} + \frac{q_2}{r_2^3} = 0\quad\Longrightarrow\quad q_2 = -q_1\,\frac{r_2^3}{r_1^3} = -1\cdot 10^{-6}\left(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{8}}\right)^3 = -1\cdot 10^{-6}\cdot 3{,}95$$$$q_2 = -3{,}95\cdot 10^{-6}\ \text{C} = -3{,}95\ \mu\text{C}$$Negativa, como esperábamos: está más lejos de $P$ que $q_1$, así que necesita ser bastante mayor en valor absoluto.

b) Componentes $x$ (las $y$ ya se anulan):$$E_{1x} = \frac{K q_1}{r_1^3}\cdot 2 = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1\cdot 10^{-6}\cdot 2}{8^{3/2}} = 795{,}5\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$E_{2x} = \frac{K q_2}{r_2^3}\cdot(-4) = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot(-3{,}95\cdot 10^{-6})\cdot(-4)}{20^{3/2}} = 1591\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$\vec E(0,\,2) = (795{,}5 + 1591)\,\vec i = 2{,}39\cdot 10^{3}\,\vec i\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Las dos componentes $x$ suman: $q_1$ (positiva, a la izquierda) empuja hacia la derecha y $q_2$ (negativa, a la derecha) atrae hacia la derecha.

c) $q_2$ parte del reposo en $(4,\,0)$, a $6\,\text{m}$ de $q_1$, y pasa por el origen, a $2\,\text{m}$ de $q_1$. Conservación de la energía:$$\frac{K q_1 q_2}{6} = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{K q_1 q_2}{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}m v^2 = K q_1 q_2\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\right)$$$$\frac{1}{2}m v^2 = 9\cdot 10^{9}\cdot 1\cdot 10^{-6}\cdot(-3{,}95\cdot 10^{-6})\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = 1{,}19\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}19\cdot 10^{-2}}{1\cdot 10^{-3}}} = 4{,}87\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$La energía potencial pasa de $-5{,}93\cdot 10^{-3}\,\text{J}$ a $-1{,}78\cdot 10^{-2}\,\text{J}$: disminuye, y eso es lo que gana en cinética. Pasa por el origen hacia la izquierda, es decir, $\vec v = -4{,}87\,\vec i\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.