Campo y potencial gravitatorio

a) El punto $P(1,\,0)$ está a $r_A = 1\,\text{m}$ de A y a $r_B = 5\,\text{m}$ de B. El campo de A apunta hacia A ($-\vec i$) y el de B hacia B ($+\vec i$):$$\vec g_A = -\frac{G m_A}{r_A^2}\,\vec i = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5}{1^2}\,\vec i = -3{,}34\cdot 10^{-10}\,\vec i\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$\vec g_B = +\frac{G m_B}{r_B^2}\,\vec i = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 20}{5^2}\,\vec i = 5{,}34\cdot 10^{-11}\,\vec i\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$\vec g = \vec g_A + \vec g_B = -2{,}80\cdot 10^{-10}\,\vec i\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Apunta hacia A: tan cerca de ella, la masa pequeña domina.

b) En un punto $(x,\,0)$ entre las masas ($0 < x < 6$) los dos campos tienen sentidos opuestos; se anulan si sus módulos son iguales:$$\frac{G\,m_A}{x^2} = \frac{G\,m_B}{(6 - x)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(6 - x)^2}{x^2} = \frac{20}{5} = 4\quad\Longrightarrow\quad \frac{6 - x}{x} = 2$$(raíz positiva, porque entre las masas $x$ y $6 - x$ son positivas). Así $6 - x = 2x$ y:$$x = 2\ \text{m}\qquad\Longrightarrow\qquad \text{punto de equilibrio } (2,\,0)\ \text{m}$$Está más cerca de A, la masa menor. La otra solución de la ecuación de segundo grado, $x = -6\,\text{m}$, queda fuera del segmento (allí los dos campos apuntan en el mismo sentido) y se descarta.

c) Energía potencial de la partícula $m = 0{,}1\,\text{kg}$ debida a las dos masas, en cada punto:$$E_p(1,0) = -G\,m\left(\frac{m_A}{1} + \frac{m_B}{5}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}1\,(5 + 4) = -6{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$$$E_p(2,0) = -G\,m\left(\frac{m_A}{2} + \frac{m_B}{4}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}1\,(2{,}5 + 5) = -5{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$$$W = -\Delta E_p = E_p(1,0) - E_p(2,0) = -6{,}00\cdot 10^{-11} - (-5{,}00\cdot 10^{-11}) = -1{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$El signo es coherente con a) y b): entre $x = 1$ y $x = 2\,\text{m}$ el campo apunta hacia A ($-\vec i$), y la partícula se mueve hacia $+\vec i$, contra la fuerza. Ese trabajo lo tiene que hacer un agente externo.