Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Distancia del perigeo al centro de la Tierra:$$r_p = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 7{,}00\cdot 10^{6} = 1{,}337\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Energía mecánica, en el perigeo:$$E_m = \frac{1}{2}m v_p^2 - \frac{G M_T m}{r_p} = \frac{1}{2}\cdot 300\cdot 6000^2 - \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 300}{1{,}337\cdot 10^{7}}$$$$E_m = 5{,}40\cdot 10^{9} - 8{,}93\cdot 10^{9} = -3{,}53\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra (órbita cerrada).

En el perigeo $\vec r \perp \vec v$, así que el módulo del momento angular es:$$L = r_p\,m\,v_p = 1{,}337\cdot 10^{7}\cdot 300\cdot 6000 = 2{,}41\cdot 10^{13}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}$$Su dirección es perpendicular al plano de la órbita, y es constante porque la fuerza gravitatoria es central.

b) Tercera ley de Kepler con el semieje mayor $a$ y $T = 6{,}08\,\text{h} = 21\,888\,\text{s}$:$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T}\,a^3\quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt[3]{\frac{G M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 21\,888^2}{4\pi^2}} = 1{,}69\cdot 10^{7}\ \text{m}$$El perigeo y el apogeo son los extremos del eje mayor, con la Tierra en un foco, así que $r_p + r_a = 2a$:$$r_a = 2a - r_p = 2\cdot 1{,}69\cdot 10^{7} - 1{,}337\cdot 10^{7} = 2{,}04\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Es la distancia máxima al centro de la Tierra; sobre la superficie, $r_a - R_T = 1{,}41\cdot 10^{7}\,\text{m}$.

En el apogeo la velocidad también es perpendicular al radio. Conservación del momento angular:$$r_p\,m\,v_p = r_a\,m\,v_a\quad\Longrightarrow\quad v_a = \frac{r_p\,v_p}{r_a} = \frac{1{,}337\cdot 10^{7}\cdot 6000}{2{,}04\cdot 10^{7}} = 3{,}92\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Comprobación con la energía: $-G M_T m/(2a) = -3{,}53\cdot 10^{9}\,\text{J}$, la misma del apartado a). Los datos del enunciado son coherentes.

c) La gravedad es conservativa: su trabajo es menos la variación de energía potencial, que (al conservarse la energía mecánica) es igual a la variación de energía cinética:$$W_{a\to p} = -\Delta E_p = \Delta E_c = \frac{1}{2}m\left(v_p^2 - v_a^2\right) = \frac{1}{2}\cdot 300\left(6000^2 - 3924^2\right) = 3{,}09\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Es positivo: del apogeo al perigeo el satélite «cae» hacia la Tierra, la gravedad lo acelera y su energía cinética aumenta.