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Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

La medicina nuclear utiliza diferentes tipos de isótopos para sus aplicaciones diagnósticas y terapéuticas. La elección de los mismos está condicionada por la necesidad de que no sean tóxicos, tengan un tipo de emisión radiactiva idónea, baja energía y periodo de semidesintegración corto, para que la dosis absorbida sea pequeña. El isótopo más ampliamente utilizado actualmente en los servicios de medicina nuclear es el tecnecio-99,

^{99}\text{Tc}

. Como medida de seguridad, se mide la actividad de una dosis aleatoria de cada lote cada cierto tiempo desde su preparación hasta el momento de inyectársela a un paciente, obteniéndose las siguientes lecturas:

Tiempo transcurrido desde la creación de la muestra (h)	$4$	$16$
Actividad (Bq)	$3{,}62\cdot 10^{13}$	$4{,}90\cdot 10^{12}$

a) (1,5 puntos) Determine el periodo de semidesintegración del isótopo

^{99}\text{Tc}

y la actividad inicial de la muestra.

b) (1 punto) Calcule la masa de isótopo presente en la muestra en el instante en que se preparó.

Datos: Masa atómica del

^{99}\text{Tc}

M_{^{99}\text{Tc}} = 98{,}9\,\text{u}

; Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

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Resultado

\boxed{\;T_{1/2} = 1{,}50\cdot 10^{4}\ \text{s} \approx 4{,}16\ \text{h}\qquad A_0 = 7{,}05\cdot 10^{13}\ \text{Bq}\;}

\boxed{\;m_0 = 2{,}50\cdot 10^{-4}\ \text{g}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad decae con la misma exponencial que el número de núcleos,

A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}

. Con dos lecturas no hace falta conocer

A_0

: al dividirlas,

A_0

se cancela y queda solo

e^{-\lambda\,\Delta t}

, con

\Delta t = 16 - 4 = 12\,\text{h}

. De ahí sale

\lambda

y, con ella, el periodo

T_{1/2} = \ln 2/\lambda

. La actividad inicial se obtiene «deshaciendo» las 4 primeras horas.

En b) la actividad inicial da el número inicial de núcleos,

N_0 = A_0/\lambda

, y con el número de Avogadro y la masa atómica lo pasamos a gramos. Como el becquerel es una desintegración por segundo,

\lambda

tiene que ir en

\text{s}^{-1}

Desarrollo

a) Escribimos la ley de desintegración en los dos instantes,

t_1 = 4\,\text{h}

t_2 = 16\,\text{h}

, y dividimos:

\frac{A(t_1)}{A(t_2)} = \frac{A_0\,e^{-\lambda t_1}}{A_0\,e^{-\lambda t_2}} = e^{\lambda\,(t_2 - t_1)}

\frac{3{,}62\cdot 10^{13}}{4{,}90\cdot 10^{12}} = 7{,}39 = e^{\lambda\cdot 12\cdot 3600}\quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 7{,}39}{43\,200\,\text{s}} = \frac{2{,}000}{43\,200} = 4{,}63\cdot 10^{-5}\ \text{s}^{-1}

El periodo de semidesintegración es:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{4{,}63\cdot 10^{-5}} = 1{,}50\cdot 10^{4}\ \text{s} \approx 4{,}16\ \text{h}

Comprobación rápida: en

12\,\text{h}

caben casi tres periodos (

12/4{,}16 = 2{,}9

), y la actividad ha bajado en un factor

7{,}4 \approx 2^{2{,}9}

.

La actividad inicial se obtiene a partir de la lectura de las

4\,\text{h}

A(t_1) = A_0\,e^{-\lambda t_1}\quad\Longrightarrow\quad A_0 = A(t_1)\,e^{\lambda t_1} = 3{,}62\cdot 10^{13}\,e^{4{,}63\cdot 10^{-5}\cdot 14\,400} = 3{,}62\cdot 10^{13}\cdot 1{,}948

A_0 = 7{,}05\cdot 10^{13}\ \text{Bq}

(Con la lectura de las

16\,\text{h}

sale lo mismo, como debe ser.)

b) La actividad es proporcional al número de núcleos,

A = \lambda N

. En el instante de la preparación:

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7{,}05\cdot 10^{13}}{4{,}63\cdot 10^{-5}} = 1{,}52\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}

Un mol de

^{99}\text{Tc}

son

98{,}9\,\text{g}

y contiene

N_A

núcleos:

m_0 = \frac{N_0}{N_A}\,M = \frac{1{,}52\cdot 10^{18}}{6{,}02\cdot 10^{23}}\cdot 98{,}9 = 2{,}50\cdot 10^{-4}\ \text{g}

Un cuarto de miligramo basta para una actividad de decenas de billones de desintegraciones por segundo: es lo que tiene un periodo de pocas horas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos medidas de actividad, divídelas: la actividad inicial desaparece y queda una ecuación con una sola incógnita, $\lambda$ . Lo que cuenta es el tiempo entre las medidas ( $12\,\text{h}$ ), no los instantes sueltos.

Para pasar de actividad a número de núcleos, $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ : el becquerel es una desintegración por segundo. Con $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$ , $N_0$ saldría $3600$ veces más pequeño.