FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio
Enunciado
El mineral de cuarzo (SiO2\text{SiO}_2) sobre la superficie de la Tierra contiene impurezas de aluminio, con una cantidad de 0,1 %0{,}1\,\% de átomos de 26Al^{26}\text{Al} en relación a los átomos de silicio. Cuando el mineral se entierra debido a diversos procesos geológicos (sedimentación, glaciares, etc.) los átomos de 26Al^{26}\text{Al} se desintegran con un tiempo de semidesintegración de 0,720{,}72 millones de años.

a) (1,25 puntos) Calcule la actividad de una muestra de mineral de cuarzo, debida a la presencia de isótopos de 26Al^{26}\text{Al}, situada en superficie si contiene 8,3⋅10228{,}3\cdot 10^{22} átomos de silicio.

b) (1,25 puntos) Se recoge una muestra de cuarzo de unos sedimentos, obteniéndose una relación de 0,08 %0{,}08\,\% de átomos de 26Al^{26}\text{Al} respecto a los átomos de silicio. Obtenga la edad correspondiente a la formación de dichos sedimentos.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  A=2,53⋅106 Bq  \boxed{\;A = 2{,}53\cdot 10^{6}\ \text{Bq}\;}  t=2,32⋅105 an˜os≈0,23 millones de an˜os  \boxed{\;t = 2{,}32\cdot 10^{5}\ \text{años} \approx 0{,}23\ \text{millones de años}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

En la superficie, la proporción de 26Al^{26}\text{Al} se mantiene en el 0,1 %0{,}1\,\% (se va reponiendo). Al enterrarse el mineral deja de reponerse y el 26Al^{26}\text{Al} se desintegra sin más, mientras que el silicio, estable, no cambia. Por eso la proporción 26Al/Si^{26}\text{Al}/\text{Si} funciona como un reloj.

En a) contamos los núcleos de 26Al^{26}\text{Al} (0,1 %0{,}1\,\% de los de silicio), sacamos la constante de desintegración a partir del periodo de semidesintegración y multiplicamos: A=λNA = \lambda N. El periodo hay que pasarlo a segundos para que la actividad salga en becquerelios.

En b) el cociente entre la proporción inicial (0,1 %0{,}1\,\%) y la actual (0,08 %0{,}08\,\%) es el cociente N0/NN_0/N, porque el silicio no cambia. La ley de desintegración, con un logaritmo, da el tiempo transcurrido.
2

Desarrollo

a) Periodo de semidesintegración en segundos (con 1 an˜o=365,25 dıˊas1\,\text{año} = 365{,}25\,\text{días}):T1/2=0,72⋅106 an˜os⋅3,156⋅107 san˜o=2,27⋅1013 sT_{1/2} = 0{,}72\cdot 10^{6}\ \text{años}\cdot 3{,}156\cdot 10^{7}\ \frac{\text{s}}{\text{año}} = 2{,}27\cdot 10^{13}\ \text{s}Constante de desintegración:λ=ln⁡2T1/2=0,6932,27⋅1013=3,05⋅10−14 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{2{,}27\cdot 10^{13}} = 3{,}05\cdot 10^{-14}\ \text{s}^{-1}Número de núcleos de 26Al^{26}\text{Al} en la muestra: el 0,1 %0{,}1\,\% de los átomos de silicio.N=0,001⋅8,3⋅1022=8,3⋅1019 nuˊcleosN = 0{,}001\cdot 8{,}3\cdot 10^{22} = 8{,}3\cdot 10^{19}\ \text{núcleos}Actividad:A=λN=3,05⋅10−14⋅8,3⋅1019=2,53⋅106 BqA = \lambda N = 3{,}05\cdot 10^{-14}\cdot 8{,}3\cdot 10^{19} = 2{,}53\cdot 10^{6}\ \text{Bq}Unos dos millones y medio de desintegraciones por segundo, pese a lo largo que es el periodo: hay muchísimos núcleos.

b) Como el número de átomos de silicio no cambia, la relación entre los núcleos de 26Al^{26}\text{Al} al enterrarse el mineral y los de ahora es la de las proporciones:N0N=0,1 %0,08 %=1,25\frac{N_0}{N} = \frac{0{,}1\,\%}{0{,}08\,\%} = 1{,}25Ley de desintegración radiactiva:N=N0 e−λt⟹t=1λln⁡N0N=T1/2ln⁡2ln⁡N0NN = N_0\,e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\frac{N_0}{N}Trabajando directamente en años:t=0,72⋅106 an˜os0,693⋅ln⁡1,25=1,04⋅106⋅0,223=2,32⋅105 an˜ost = \frac{0{,}72\cdot 10^{6}\ \text{años}}{0{,}693}\cdot\ln 1{,}25 = 1{,}04\cdot 10^{6}\cdot 0{,}223 = 2{,}32\cdot 10^{5}\ \text{años}Es decir, unos 0,2320{,}232 millones de años (7,31⋅1012 s7{,}31\cdot 10^{12}\,\text{s}). Tiene sentido: ha desaparecido solo el 20 %20\,\% del 26Al^{26}\text{Al}, así que no ha pasado ni medio periodo de semidesintegración.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

Para la actividad en becquerelios, λ\lambda tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}: pasa el periodo a segundos. En cambio, para la edad puedes trabajar en años de principio a fin, porque tt sale en las mismas unidades que T1/2T_{1/2}.

Un 0,1 %0{,}1\,\% es 0,0010{,}001, no 0,10{,}1. Y en b) no hace falta saber cuántos átomos tiene la muestra: basta el cociente de las proporciones, porque el silicio no se desintegra.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.
Sigue practicando
Radiactividad y desintegración
Una muestra de madera encontrada en un yacimiento arqueológico presenta una actividad radiactiva cinco veces menor…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioRadiactividad y desintegración
El radionúclido flúor-18 (18F^{18}\text{F}), utilizado como trazador en tomografías PET/TAC, tiene un periodo de…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JunioRadiactividad y desintegración
En el primer paso del proceso de desintegración, cada núcleo del isótopo 228Ra{}^{228}\text{Ra} se transmuta en un…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · JunioRadiactividad y desintegración
Para tratar el cáncer de tiroides se utiliza yodo 131, un isótopo del yodo, que es radiactivo con un periodo de…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Apuntes y todos los problemas de Física moderna →