FísicaFácilProblema · 2,5 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Enunciado
Para tratar el cáncer de tiroides se utiliza yodo 131, un isótopo del yodo, que es radiactivo con un periodo de semidesintegración de 8,028{,}02 días. La actividad inicial máxima que puede recibir un paciente es de 7000 MBq7000\,\text{MBq}. Determine:

a) (0,5 puntos) La constante de desintegración del yodo 131.

b) (1 punto) La máxima cantidad de yodo 131 que puede contener la muestra para no sobrepasar el límite de 7000 MBq7000\,\text{MBq}.

c) (1 punto) El tiempo que debe transcurrir hasta que la actividad de la muestra se reduzca al 20 %20\,\% de la actividad inicial máxima.

Datos: Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}; Masa atómica del yodo 131, M=130,9 uM = 130{,}9\,\text{u}.
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Resultado
  λ=1,00⋅10−6 s−1  \boxed{\;\lambda = 1{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\;}  m0=1,52⋅10−6 g=1,52 μg  \boxed{\;m_0 = 1{,}52\cdot 10^{-6}\ \text{g} = 1{,}52\ \mu\text{g}\;}  t=1,61⋅106 s≈18,6 dıˊas  \boxed{\;t = 1{,}61\cdot 10^{6}\ \text{s} \approx 18{,}6\ \text{días}\;}
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Estrategia

Es la cadena clásica de radiactividad: del periodo de semidesintegración sale la constante λ\lambda; la actividad es A=λNA = \lambda N, así que con la actividad máxima obtenemos el número máximo de núcleos, y con la masa molar y el número de Avogadro lo pasamos a gramos.

Para el tiempo, la actividad decae con la misma exponencial que el número de núcleos, A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}: se despeja tt tomando logaritmos. Ojo con las unidades: el becquerel es una desintegración por segundo, así que λ\lambda debe ir en s−1\text{s}^{-1}.
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Desarrollo

a) Pasamos el periodo de semidesintegración a segundos:T1/2=8,02⋅24⋅3600=6,93⋅105 sT_{1/2} = 8{,}02\cdot 24\cdot 3600 = 6{,}93\cdot 10^{5}\ \text{s}λ=ln⁡2T1/2=0,6936,93⋅105=1,00⋅10−6 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{6{,}93\cdot 10^{5}} = 1{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}b) La actividad es proporcional al número de núcleos radiactivos, A=λNA = \lambda N. Con A0=7000 MBq=7,00⋅109 BqA_0 = 7000\,\text{MBq} = 7{,}00\cdot 10^{9}\,\text{Bq}, el número máximo de núcleos esN0=A0λ=7,00⋅1091,00⋅10−6=7,00⋅1015 nuˊcleosN_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7{,}00\cdot 10^{9}}{1{,}00\cdot 10^{-6}} = 7{,}00\cdot 10^{15}\ \text{núcleos}Como la masa atómica es 130,9 u130{,}9\,\text{u}, un mol de yodo 131 son 130,9 g130{,}9\,\text{g} y contiene NAN_A núcleos:m0=N0NA M=7,00⋅10156,02⋅1023⋅130,9=1,52⋅10−6 g=1,52 μgm_0 = \frac{N_0}{N_A}\,M = \frac{7{,}00\cdot 10^{15}}{6{,}02\cdot 10^{23}}\cdot 130{,}9 = 1{,}52\cdot 10^{-6}\ \text{g} = 1{,}52\ \mu\text{g}Es una cantidad minúscula: el yodo 131 se desintegra tan deprisa que un microgramo y medio ya da una actividad enorme.

c) La actividad sigue la ley de desintegración:A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}Queremos A=0,20 A0A = 0{,}20\,A_0:0,20=e−λt⟹t=−ln⁡0,20λ=ln⁡5λ=1,6091,00⋅10−6=1,61⋅106 s0{,}20 = e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{-\ln 0{,}20}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{1{,}609}{1{,}00\cdot 10^{-6}} = 1{,}61\cdot 10^{6}\ \text{s}En días:t=1,61⋅10686400=18,6 dıˊast = \frac{1{,}61\cdot 10^{6}}{86400} = 18{,}6\ \text{días}Tiene sentido: tras dos periodos (1616 días) quedaría el 25 %25\,\%, y tras tres (2424 días) el 12,5 %12{,}5\,\%; el 20 %20\,\% cae entre ambos.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

La actividad está en becquerelios (desintegraciones por segundo): para usar A=λNA = \lambda N, la constante λ\lambda tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}. Si la dejas en dıˊas−1\text{días}^{-1}, el número de núcleos sale 8640086400 veces más pequeño.

Para el tiempo hasta un porcentaje, no necesitas A0A_0: solo el cociente A/A0A/A_0. Y comprueba el resultado contando semividas, como se ha hecho aquí.
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