Radiactividad y desintegración

a) Un becquerel es una desintegración por segundo. Cada núcleo de ${}^{228}\text{Ra}$ que se desintegra emite una partícula $\beta^-$ (${}^{228}_{\ 88}\text{Ra} \to {}^{228}_{\ 89}\text{Ac} + {}^{\ \,0}_{-1}e + \bar\nu$), así que el número de partículas emitidas por segundo coincide con la actividad:$$3{,}03\cdot 10^{14}\ \text{partículas}\ \beta^-\ \text{por segundo}$$b) Número de núcleos de la muestra (la masa molar del ${}^{228}\text{Ra}$ es $228\,\text{g/mol}$):$$N_0 = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{30}{228}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 7{,}92\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}$$De $A_0 = \lambda N_0$ despejamos la constante de desintegración:$$\lambda = \frac{A_0}{N_0} = \frac{3{,}03\cdot 10^{14}}{7{,}92\cdot 10^{22}} = 3{,}83\cdot 10^{-9}\ \text{s}^{-1}$$Y el periodo de semidesintegración:$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{3{,}83\cdot 10^{-9}} = 1{,}81\cdot 10^{8}\ \text{s}$$Pasado a años ($1\ \text{año} = 365\cdot 24\cdot 3600 = 3{,}154\cdot 10^{7}\,\text{s}$), $T_{1/2} \approx 5{,}75$ años.

c) Diez años son $t = 10\cdot 3{,}154\cdot 10^{7} = 3{,}154\cdot 10^{8}\,\text{s}$, menos de dos periodos de semidesintegración. Por la ley de desintegración, la masa de radio que queda es:$$m = m_0\,e^{-\lambda t} = 30\,e^{-3{,}83\cdot 10^{-9}\cdot 3{,}154\cdot 10^{8}} = 30\,e^{-1{,}206} = 30\cdot 0{,}299 = 8{,}98\ \text{g}$$La masa que se ha transformado en ${}^{228}\text{Ac}$ es la diferencia:$$m_{\text{transf}} = m_0 - m = 30 - 8{,}98 = 21{,}0\ \text{g}$$Tiene sentido: tras un periodo ($5{,}75$ años) quedarían 15 g y tras dos ($11{,}5$ años), 7,5 g; a los 10 años quedan 8,98 g, entre ambos.