Considere la imagen formada por una lente delgada de distancia focal f′ de un objeto situado a una distancia s a la izquierda de la lente.
a) (1 punto) Demuestre que el aumento lateral M tiene la siguiente expresión en función de la distancia focal f′ y la posición del objeto s:M=f′+sf′b) (0,5 puntos) Considerando la expresión obtenida en el apartado anterior, razone si una lente divergente puede formar una imagen invertida.
c) (1 punto) Dibuje el trazado de rayos a través del sistema óptico de la imagen formada por una lente divergente si el objeto se sitúa a una distancia dos veces su distancia focal.
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Resultado
M=ss′=f′+sf′Divergente: f′<0,s<0⇒0<M<1:nunca invertidas=−2f:s′=−32f,M=31(virtual, derecha y menor)
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Estrategia
Usamos el convenio de signos habitual (normas DIN): la luz va de izquierda a derecha, el origen está en el centro de la lente y las distancias a la izquierda son negativas. Así, el objeto real tiene s<0.
En a) combinamos las dos ecuaciones de las lentes delgadas: la de las posiciones, s′1−s1=f′1, y la del aumento lateral, M=ss′. Despejamos s′ de la primera y lo llevamos a la segunda.
En b) basta mirar los signos de la fórmula: una imagen invertida exige M<0.
En c) dibujamos con los rayos de siempre (el paralelo, el que pasa por el centro y el que va hacia el foco) teniendo en cuenta que en una lente divergente el foco imagen F′ está a la izquierda.
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Desarrollo
a) Ecuación de las lentes delgadas:s′1−s1=f′1Despejamos la posición de la imagen:s′1=f′1+s1=f′ss+f′⟹s′=f′+sf′sEl aumento lateral de una lente delgada es el cociente entre las posiciones de imagen y objeto:M=yy′=ss′Sustituyendo s′:M=s1⋅f′+sf′s=f′+sf′que es la expresión pedida.
b) La imagen es invertida si M<0. Veamos los signos para una lente divergente:
La distancia focal imagen de una lente divergente es negativa: f′<0.
El objeto está a la izquierda de la lente: s<0.
El numerador f′ es negativo y el denominador f′+s también (suma de dos negativos). El cociente es positivo:M=f′+sf′=−(∣f′∣+∣s∣)−∣f′∣=∣f′∣+∣s∣∣f′∣⟹0<M<1Así que no: una lente divergente con un objeto real nunca da una imagen invertida. La imagen es siempre derecha y, además, menor que el objeto, esté donde esté.
c) Con ∣f′∣=f, el objeto está en s=−2f y la focal es f′=−f. Los puntos notables: el foco imagen F′ está a la izquierda de la lente, a distancia f, y el foco objeto F, a la derecha. Desde el extremo superior del objeto trazamos:
Un rayo paralelo al eje: al atravesar la lente se abre como si viniera de F′. Su prolongación hacia atrás (discontinua) pasa por F′.
Un rayo por el centro ópticoO: no se desvía.
Un rayo dirigido hacia el foco objetoF: sale paralelo al eje. Su prolongación hacia atrás es una horizontal.
Los rayos que salen de la lente divergen y no se cortan: se cortan sus prolongaciones, a la izquierda de la lente. Ahí está la imagen, que por eso es virtual.Trazado de rayos en una lente divergente con el objeto en 2F′, a la izquierda de la lente. El rayo paralelo al eje sale de la lente alejándose del eje, y su prolongación hacia atrás pasa por F′; el rayo por el centro óptico no se desvía; el rayo dirigido hacia F sale paralelo al eje. Las prolongaciones se cortan entre F′ y la lente, a un tercio de la altura del objeto: imagen virtual, derecha y tres veces menorLo confirman las ecuaciones de a) con s=−2f y f′=−f:s′=f′+sf′s=−3f(−f)(−2f)=−32fM=f′+sf′=−3f−f=31La imagen está entre F′ y la lente, a dos tercios de la distancia focal: virtual, derecha y tres veces menor que el objeto.
En una lente divergente el foco imagen F′ está a la izquierda, del lado del objeto. Si lo pones a la derecha, el rayo paralelo te sale convergiendo y el dibujo deja de tener sentido.
En el trazado, los rayos que salen de la divergente no se cortan nunca: hay que prolongarlos hacia atrás con línea discontinua. Que la imagen se forme con prolongaciones es justo lo que la hace virtual.
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