FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio
Enunciado
Una espira conductora circular de radio 20 cm20\,\text{cm} se encuentra en el seno de un campo magnético homogéneo perpendicular al plano de la espira (ver figura). Si la espira tiene una resistencia de 40 Ω40\,\Omega, calcule la máxima intensidad de corriente que circulará por la espira en los siguientes casos:
Espira circular dentro de un campo magnético uniforme B perpendicular al plano del papel y dirigido hacia dentro (aspas ⊗ por toda la región)
Espira circular dentro de un campo magnético uniforme B perpendicular al plano del papel y dirigido hacia dentro (aspas ⊗ por toda la región)
a) (1,25 puntos) El módulo del campo magnético es constante de valor B=150 mTB = 150\,\text{mT}, y la espira gira en torno a uno de sus diámetros con una velocidad angular de 50 rad s−150\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}.

b) (1,25 puntos) La espira se encuentra fija, y el módulo del campo magnético varía con el tiempo conforme a B=B0 sen(ωt)B = B_0\,\text{sen}(\omega t), con B0=200 mTB_0 = 200\,\text{mT} y ω=75 rad s−1\omega = 75\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}.
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Resultado
  a) Imaˊx=2,36⋅10−2 A=23,6 mA  \boxed{\;\text{a) } I_{\text{máx}} = 2{,}36\cdot 10^{-2}\ \text{A} = 23{,}6\ \text{mA}\;}  b) Imaˊx=4,71⋅10−2 A=47,1 mA  \boxed{\;\text{b) } I_{\text{máx}} = 4{,}71\cdot 10^{-2}\ \text{A} = 47{,}1\ \text{mA}\;}
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Estrategia

Para que circule corriente tiene que cambiar el flujo magnético a través de la espira, Φ=B Scos⁡θ\Phi = B\,S\cos\theta. Hay tres cosas que pueden cambiar: el campo, la superficie o el ángulo. En este problema se ven dos de ellas, una en cada apartado.

En a) el campo es fijo, pero la espira gira: el ángulo entre B⃗\vec B y el vector superficie cambia como θ=ωt\theta = \omega t. Es un alternador. En b) la espira está quieta y perpendicular al campo (cos⁡θ=1\cos\theta = 1), pero el campo oscila.

En los dos casos escribimos Φ(t)\Phi(t), la ley de Faraday da la fem como menos su derivada, nos quedamos con su amplitud y la ley de Ohm da la corriente máxima.
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Desarrollo

Superficie de la espira, con r=0,20 mr = 0{,}20\,\text{m}:S=πr2=π (0,20)2=0,126 m2S = \pi r^2 = \pi\,(0{,}20)^2 = 0{,}126\ \text{m}^2a) Al girar con velocidad angular constante, el ángulo entre B⃗\vec B y S⃗\vec S es θ=ωt+φ0\theta = \omega t + \varphi_0 (φ0\varphi_0 depende de cómo empiece; en la figura, S⃗\vec S es paralelo a B⃗\vec B y φ0=0\varphi_0 = 0). El flujo:Φ(t)=B Scos⁡(ωt+φ0)\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t + \varphi_0)Ley de Faraday:ε(t)=−dΦdt=B S ω sen(ωt+φ0)\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)La fem es máxima cuando el seno vale ±1\pm 1, es decir, cuando la espira está paralela al campo:εmaˊx=B S ω=0,150⋅0,126⋅50=0,942 V\varepsilon_{\text{máx}} = B\,S\,\omega = 0{,}150\cdot 0{,}126\cdot 50 = 0{,}942\ \text{V}Por la ley de Ohm:Imaˊx=εmaˊxR=0,94240=2,36⋅10−2 A=23,6 mAI_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon_{\text{máx}}}{R} = \frac{0{,}942}{40} = 2{,}36\cdot 10^{-2}\ \text{A} = 23{,}6\ \text{mA}
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(En la simulación se da la frecuencia de giro: f=ω/2π=50/2π=7,96 Hzf = \omega/2\pi = 50/2\pi = 7{,}96\,\text{Hz}.)

b) Ahora la espira no se mueve y sigue perpendicular al campo, así que cos⁡θ=1\cos\theta = 1 y lo que cambia es el módulo de B⃗\vec B:Φ(t)=B(t) S=B0 S sen(ωt)\Phi(t) = B(t)\,S = B_0\,S\,\text{sen}(\omega t)ε(t)=−dΦdt=−B0 S ωcos⁡(ωt)\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -B_0\,S\,\omega\cos(\omega t)Su amplitud esεmaˊx=B0 S ω=0,200⋅0,126⋅75=1,88 V\varepsilon_{\text{máx}} = B_0\,S\,\omega = 0{,}200\cdot 0{,}126\cdot 75 = 1{,}88\ \text{V}y la corriente máximaImaˊx=εmaˊxR=1,8840=4,71⋅10−2 A=47,1 mAI_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon_{\text{máx}}}{R} = \frac{1{,}88}{40} = 4{,}71\cdot 10^{-2}\ \text{A} = 47{,}1\ \text{mA}La fem es máxima cuando el campo pasa por cero, que es cuando cambia más deprisa.
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(La simulación escribe el campo con un coseno: B0 sen(ωt)=B0cos⁡(ωt−π/2)B_0\,\text{sen}(\omega t) = B_0\cos(\omega t - \pi/2), de ahí la fase −π/2-\pi/2.)
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Consejo

Las dos situaciones dan la misma fórmula de la amplitud, εmaˊx=B S ω\varepsilon_{\text{máx}} = B\,S\,\omega, pero por motivos distintos: en a) cambia el ángulo y en b) cambia el campo. Escribe siempre Φ(t)\Phi(t) y deriva; así no te pierdes aunque el enunciado mezcle las dos cosas.

Pasa los militeslas a teslas y los centímetros a metros antes de nada: 150 mT=0,150 T150\,\text{mT} = 0{,}150\,\text{T} y r=0,20 mr = 0{,}20\,\text{m}. Y recuerda que la fem es máxima cuando el flujo es nulo, no cuando es máximo.
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