Un espectrómetro de masas consta de un selector de velocidades (figura (a)) y de un detector de iones (figura (b)).Figura (a), selector de velocidades: un ion Ca²⁺ entra moviéndose hacia la derecha (eje x) entre dos placas, la superior cargada positivamente y la inferior negativamente; el campo eléctrico E apunta hacia abajo (−z) y el campo magnético B₁ apunta hacia el fondo (eje y). Figura (b), detector: el ion entra en una región con campo magnético B₂ entrante en el papel (eje y, cruces), describe media circunferencia hacia arriba y llega al detector, situado a una distancia 2r por encima del punto de entrada. Ejes: x hacia la derecha, z hacia arriba, y hacia el fondo.a) (1 punto) En el selector de velocidades, figura (a), hay un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares para que solo los iones que tengan una cierta velocidad y viajen en línea recta lleguen al detector. Si el campo magnético es B1=1,0jmT y se han inyectado iones Ca2+, ¿cuál es el valor del campo eléctrico E para que únicamente los iones con una velocidad v=2,4⋅105ims−1 lleguen al detector?
b) (1,5 puntos) A la salida del selector de velocidades, los iones penetran en una región con un campo magnético B2=1,5jT que les hace describir una trayectoria circular, tal y como se indica en la figura (b). ¿Cuál es el radio de la trayectoria?
Datos: Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023mol−1; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19C; Masa atómica del ion Ca2+, 40u.
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Resultado
E=−240kNC−1r=3,32⋅10−2m≈3,3cm
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Estrategia
En el selector, el ion sufre dos fuerzas: la eléctrica, qE, y la magnética, qv×B1. Para que siga en línea recta tienen que anularse: mismo módulo y sentidos opuestos. Calculamos primero la fuerza magnética con el producto vectorial y luego elegimos E para compensarla. Fíjate en que la condición no depende ni de la carga ni de la masa: el selector deja pasar una velocidad, v=E/B.
En el detector solo queda el campo magnético. La fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad, así que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta: el ion describe una circunferencia. Igualando fuerza magnética y centrípeta sale el radio. Antes hay que calcular la masa de un ion a partir de su masa atómica y del número de Avogadro.
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Desarrollo
a) La carga del ion es q=2e=3,2⋅10−19C (positiva). La fuerza magnética en el selector:Fm=qv×B1=q(2,4⋅105i)×(1,0⋅10−3j)=q⋅240(i×j)=q⋅240kNEmpuja al ion hacia arriba (+z). Para que viaje en línea recta, la fuerza eléctrica debe valer lo mismo hacia abajo:qE+qv×B1=0⟹E=−v×B1=−240kNC−1En módulo, E=vB1=2,4⋅105⋅1,0⋅10−3=240N/C, dirigido hacia −z: de la placa positiva (arriba) a la negativa (abajo), como en la figura. Los iones más rápidos se desvían hacia arriba (gana la fuerza magnética) y los más lentos hacia abajo.
b)Masa de un ion. Un mol de iones Ca2+ tiene una masa de 40g y contiene NA iones:m=6,02⋅1023mol−140⋅10−3kg/mol=6,64⋅10−26kgRadio. En el detector, F=qv×B2=qvB2(i×j)=qvB2k: la fuerza apunta hacia arriba al entrar, de modo que el ion gira hacia el detector, como en la figura. Esa fuerza es la centrípeta:qvB2=mrv2⟹r=qB2mvr=3,2⋅10−19⋅1,56,64⋅10−26⋅2,4⋅105=3,32⋅10−2mEl ion llega al detector a 2r≈6,6cm del punto de entrada. Como r es proporcional a m/q y todos los iones llegan con la misma velocidad, cada isótopo cae en un punto distinto: así es como el espectrómetro separa masas.
El ion es Ca2+: su carga es 2e, no e. Olvidarlo duplica el radio.
Se pide el campo eléctrico como vector: no basta con E=vB, hay que decir hacia dónde apunta. Hazlo con el producto vectorial y comprueba con la figura (de la placa + a la −).
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