FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla-La Mancha · 2025 · Junio

Enunciado

En un espectrómetro de masas, dos partículas cargadas, P1 y P2, de masas iguales

m = 5\cdot 10^{-6}\,\text{kg}

, entran en una región donde existe un campo magnético uniforme perpendicular (

B = 0{,}50\,\text{T}

) orientado según se indica en la figura (el aspa indica que

\vec B

entra en la hoja). A su entrada, las dos partículas tienen la misma velocidad,

v = 100\,\text{m/s}

. Una vez dentro, se separan siguiendo las trayectorias semicirculares indicadas, siendo

x_1 = 10\,\text{cm}

(partícula P1) y

x_2 = 40\,\text{cm}

(partícula P2). Elija dos apartados:

Espectrómetro: las partículas entran hacia arriba (+y); P1 describe una semicircunferencia hacia la izquierda de anchura x1 y P2 otra mayor hacia la derecha de anchura x2; B entra en la hoja

a) (1,25 puntos) Explique razonadamente el signo de la carga de cada partícula y determine el valor de dichas cargas.

b) (1,25 puntos) Calcule la aceleración debida a la fuerza magnética que actúa sobre cada una de las partículas y determine el tiempo que invierte cada partícula en recorrer su trayectoria semicircular.

c) (1,25 puntos) En este experimento se puede incluir un campo eléctrico dentro de la parte recuadrada. Especifique el vector campo eléctrico para que las partículas, al entrar en el recuadro, sigan una trayectoria rectilínea y no se desvíen.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{P1 positiva: } q_1 = 2\cdot 10^{-2}\ \text{C}\qquad \text{P2 negativa: } q_2 = -5\cdot 10^{-3}\ \text{C}\;}

\boxed{\;a_1 = 2\cdot 10^{5}\ \text{m/s}^2,\ t_1 = 1{,}57\cdot 10^{-3}\ \text{s}\qquad a_2 = 5\cdot 10^{4}\ \text{m/s}^2,\ t_2 = 6{,}28\cdot 10^{-3}\ \text{s}\;}

\boxed{\;\vec E = 50\,\vec i\ \text{V/m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dentro del campo, la fuerza de Lorentz hace de fuerza centrípeta y las partículas describen semicircunferencias de diámetro

x

. El sentido del giro depende del signo de la carga: se compara con lo que da

\vec v\times\vec B

para una carga positiva. Con el radio se despeja la carga,

q = mv/(BR)

.

La aceleración es la centrípeta,

v^2/R

, y el tiempo, media circunferencia recorrida a velocidad constante. En c) se construye un selector de velocidades:

q\vec E

debe anular a

q\,\vec v\times\vec B

Desarrollo

a) Con

\vec v = v\,\vec j

(hacia arriba) y

\vec B = -B\,\vec k

(entrante), para una carga positiva:

\vec F = q\,\vec v\times\vec B = q\,v B\,\big(\vec j\times(-\vec k)\big) = -q\,v B\,\vec i

Una carga positiva se desvía hacia la izquierda (

-x

). P1 gira hacia la izquierda: P1 es positiva. P2 gira hacia la derecha: P2 es negativa.

Radios (las anchuras

x

son diámetros):

R_1 = 0{,}05\,\text{m}

R_2 = 0{,}20\,\text{m}

|q|\,v B = \frac{m v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad |q| = \frac{m v}{B R}

q_1 = \frac{5\cdot 10^{-6}\cdot 100}{0{,}5\cdot 0{,}05} = +2\cdot 10^{-2}\ \text{C} \qquad q_2 = -\frac{5\cdot 10^{-6}\cdot 100}{0{,}5\cdot 0{,}20} = -5\cdot 10^{-3}\ \text{C}

b) Aceleración (centrípeta):

a_1 = \frac{v^2}{R_1} = \frac{100^2}{0{,}05} = 2\cdot 10^{5}\ \text{m/s}^2 \qquad a_2 = \frac{v^2}{R_2} = \frac{100^2}{0{,}20} = 5\cdot 10^{4}\ \text{m/s}^2

Tiempo en recorrer media circunferencia (

\pi R

) a velocidad constante:

t_1 = \frac{\pi R_1}{v} = \frac{\pi\cdot 0{,}05}{100} = 1{,}57\cdot 10^{-3}\ \text{s} \qquad t_2 = \frac{\pi R_2}{v} = \frac{\pi\cdot 0{,}20}{100} = 6{,}28\cdot 10^{-3}\ \text{s}

c) Para que no se desvíen, la fuerza total debe ser nula:

q\,\vec E + q\,\vec v\times\vec B = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec E = -\vec v\times\vec B = -\big(100\,\vec j\times(-0{,}5\,\vec k)\big) = 50\,\vec i\ \ \text{V/m}

El resultado no depende de la carga: sirve a la vez para P1 y para P2 (y para cualquier partícula con esa velocidad). Comprobación: para P1 (positiva) la fuerza magnética va hacia

-x

y la eléctrica,

q\vec E

, hacia

+x

Consejo

$x_1$ y $x_2$ son diámetros, no radios: divide entre 2 antes de calcular. Con el radio equivocado, las cargas salen a la mitad.

Razona el signo con el producto vectorial y dilo con palabras: «una carga positiva se desviaría hacia $-x$ ; P1 lo hace, luego es positiva».