FísicaFácilProblema · 2,5 pts

Movimiento armónico simple

Comunidad de Madrid · 2025 · Julio

Enunciado

Un muelle de constante elástica

k

tiene uno de sus extremos unido a una pared y el otro unido a un bloque de masa

m

. El bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si el bloque se separa una distancia de

5\,\text{cm}

con respecto a la posición de equilibrio y se suelta, se observa que su energía cinética al pasar por el punto de equilibrio es

0{,}02\,\text{J}

.

a) (1 punto) Determine la constante elástica del muelle,

k

.

b) (1,5 puntos) Si la masa del bloque es

m = 4\,\text{kg}

, calcule el periodo de las oscilaciones y el módulo de la velocidad del bloque cuando el desplazamiento con respecto al punto de equilibrio sea

x = 2\,\text{cm}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;k = 16\ \text{N}\,\text{m}^{-1}\;}

\boxed{\;T = \pi\ \text{s} \approx 3{,}14\ \text{s}\qquad |v(x = 2\,\text{cm})| = 9{,}17\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sin rozamiento, la energía mecánica del oscilador se conserva: solo va pasando de potencial elástica a cinética y vuelta. Al soltar el bloque a

5\,\text{cm}

del equilibrio, está quieto, así que esos

5\,\text{cm}

son la amplitud y toda la energía es potencial. Al pasar por el equilibrio, la potencial es cero y toda la energía es cinética. Igualando las dos sale

k

.

Con

k

y la masa, el periodo es directo. Y la velocidad en cualquier punto sale otra vez de la conservación de la energía: la energía total se reparte entre la potencial en ese punto y la cinética.

Desarrollo

a) El bloque se suelta desde el reposo a

A = 5\,\text{cm} = 0{,}05\,\text{m}

: esa es la amplitud. La energía mecánica total, que se conserva, es la potencial elástica en el extremo, y coincide con la cinética al pasar por el equilibrio:

\frac{1}{2}\,k\,A^2 = E_c(x = 0) \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{2\,E_c}{A^2}

k = \frac{2\cdot 0{,}02}{0{,}05^2} = 16\ \text{N}\,\text{m}^{-1}

b) Periodo. La pulsación de un muelle es

\omega = \sqrt{k/m}

, y el periodo,

T = 2\pi/\omega

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{4}{16}} = \pi\ \text{s} \approx 3{,}14\ \text{s}

Velocidad en $x = 2\,\text{cm}$ . Aplicamos la conservación de la energía entre el extremo y el punto

x = 0{,}02\,\text{m}

\frac{1}{2}\,k\,A^2 = \frac{1}{2}\,k\,x^2 + \frac{1}{2}\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{k}{m}\,(A^2 - x^2)}

v = \sqrt{\frac{16}{4}\,(0{,}05^2 - 0{,}02^2)} = \sqrt{4\cdot 2{,}1\cdot 10^{-3}} = 9{,}17\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobación: la velocidad máxima, en el equilibrio, es

v_{\text{máx}} = \omega A = 2\cdot 0{,}05 = 0{,}1\,\text{m/s}

(y da

\tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 0{,}1^2 = 0{,}02\,\text{J}

, el dato del enunciado). A

2\,\text{cm}

del centro el bloque va algo más despacio, como debe ser.

Consejo

«Se separa y se suelta» quiere decir que parte del reposo: esa separación es la amplitud. Es el dato que convierte todo el problema en una cuenta de energías.

Pasa los centímetros a metros antes de elevar al cuadrado: con $A = 5$ en lugar de $0{,}05$ , la constante $k$ sale $10^{4}$ veces más pequeña.