Campo y potencial gravitatorio

a) Llamamos $P(3,\,3)$ al punto. Las distancias desde cada masa son iguales:$$r_1 = r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\ \text{m} \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 18\ \text{m}^2$$El módulo del campo de cada masa:$$g_1 = g_2 = \frac{G\,m_1}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{18} = 1{,}11\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada campo apunta hacia la masa que lo crea. Desde $P$, la masa 1 está en la dirección $(-3,\,-3)$ y la masa 2 en la $(3,\,-3)$, así que los vectores unitarios son:$$\vec u_{P\to 1} = \frac{-\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}\qquad \vec u_{P\to 2} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}$$Por el principio de superposición:$$\vec g = g_1\,\frac{-\vec i - \vec j}{\sqrt{2}} + g_2\,\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}} = -\frac{2\,g_1}{\sqrt{2}}\,\vec j = -\sqrt{2}\,g_1\,\vec j$$$$\vec g = -\sqrt{2}\cdot 1{,}11\cdot 10^{-11}\,\vec j = -1{,}57\cdot 10^{-11}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Como esperábamos, las componentes $x$ se anulan y el campo resultante apunta hacia abajo, hacia el eje que une las masas.

b) La fuerza gravitatoria es conservativa, así que el trabajo que realiza al ir de $A(3,\,3)$ a $B(0,\,3)$ es:$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)$$En $A$ la partícula está a $3\sqrt{2}\,\text{m}$ de cada masa:$$E_p(A) = -\frac{G\,m_1\,m}{r_{1A}} - \frac{G\,m_2\,m}{r_{2A}} = -\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot 1}{3\sqrt{2}} = -9{,}43\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$En $B(0,\,3)$ está a $3\,\text{m}$ de la masa 1 y a $\sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45}\,\text{m}$ de la masa 2:$$E_p(B) = -G\,m_1\,m\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{45}}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot (0{,}3333 + 0{,}1491) = -9{,}65\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$$$W_{A\to B} = -9{,}43\cdot 10^{-11} - (-9{,}65\cdot 10^{-11}) = 2{,}20\cdot 10^{-12}\ \text{J}$$El trabajo es positivo: la fuerza gravitatoria lo hace a favor del movimiento. Tiene sentido, porque en $B$ la partícula está mucho más cerca de la masa 1 y su energía potencial es más negativa: el desplazamiento ocurre de forma espontánea.

En la simulación, la masa de prueba de $1\,\text{kg}$ está en $B$ y el punto de referencia $A$ en $(3,\,3)$; el trabajo del campo de $A$ a la sonda es el de este apartado.