FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

También trata: Radiactividad y desintegración

Andalucía · 2024 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

a) i) Represente gráficamente la energía de enlace por nucleón en función del número másico y relaciónela con la estabilidad nuclear. ii) Justifique, basándose en la gráfica, los procesos de fusión y de fisión nuclear.

b) i) En la cadena de desintegración del núcleo

^{222}_{86}\text{Rn}

se emiten partículas alfa y beta, obteniéndose un nuevo núcleo

^{206}_{82}\text{Pb}

. Escriba la reacción nuclear correspondiente y determine justificadamente el número de partículas alfa y beta emitidas. ii) Calcule razonadamente la energía necesaria para descomponer en protones y neutrones

10\,\text{g}

^{222}_{86}\text{Rn}

.

Datos:

m(^{222}_{86}\text{Rn}) = 222{,}017578\,\text{u}

;

m_p = 1{,}007276\,\text{u}

;

m_n = 1{,}008665\,\text{u}

;

1\,\text{u} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

;

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

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Resultado

\boxed{\;^{222}_{86}\text{Rn} \longrightarrow \,^{206}_{82}\text{Pb} + 4\,^{4}_{2}\alpha + 4\,^{0}_{-1}\beta\;}

\boxed{\;\Delta m = 1{,}7866\ \text{u}\qquad E_1 = 2{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{J}\qquad E(10\ \text{g}) = 7{,}24\cdot 10^{12}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b) i), como siempre en las cadenas, primero el número másico: solo lo cambian las

\alpha

, así que de ahí sale cuántas hay. Después el número atómico revela cuántas

\beta

hacen falta.

En b) ii) ojo con la pregunta: piden la energía para descomponer $10\,\text{g}$ , no un núcleo. Hay que calcular la energía de enlace por núcleo y multiplicarla por el número de núcleos que hay en esos

10\,\text{g}

. Y esa energía es la que hay que aportar, así que es positiva.

Desarrollo

a) i) La gráfica representa

E_{\text{enlace}}/A

(en MeV/nucleón) frente al número másico

A

. Su forma es característica:

Arranca en valores bajos para los núcleos muy ligeros ( $^{2}\text{H}$ , en torno a $1\,\text{MeV/nucleón}$ ), con picos locales en núcleos especialmente estables como el $^{4}\text{He}$ .
Crece rápidamente hasta $A \approx 56$ - $60$ , donde alcanza un máximo de unos $8{,}8\,\text{MeV/nucleón}$ (hierro y níquel).
A partir de ahí decrece lentamente, hasta unos $7{,}6\,\text{MeV/nucleón}$ en el uranio.

La relación con la estabilidad es directa: cuanto mayor es la energía de enlace por nucleón, más ligado y por tanto más estable es el núcleo. Los núcleos de la zona del hierro son los más estables que existen.

a) ii) Todo proceso espontáneo tiende a llevar los núcleos hacia mayor energía de enlace por nucleón, es decir, a subir en la gráfica, liberando la diferencia como energía:

Fusión: en la rama izquierda (núcleos ligeros), la curva sube muy deprisa. Al unir dos núcleos ligeros se obtiene uno con mayor $E/A$ , y la diferencia se libera. Por eso la fusión de hidrógeno en helio alimenta las estrellas.
Fisión: en la rama derecha (núcleos pesados), la curva baja. Al romper un núcleo pesado en dos de masa intermedia, los fragmentos tienen mayor $E/A$ que el original, y de nuevo se libera energía.

En ambos casos se avanza hacia el máximo de la curva; por eso el hierro no libera energía ni fusionándose ni fisionándose.

b) i) Planteamos la cadena global:

^{222}_{86}\text{Rn} \;\longrightarrow\; ^{206}_{82}\text{Pb} + x\,^{4}_{2}\alpha + y\,^{0}_{-1}\beta

Conservación del número másico (las

\beta

no lo alteran):

222 = 206 + 4x \quad\Longrightarrow\quad 4x = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = 4

Conservación del número atómico:

86 = 82 + 2x - y = 82 + 8 - y \quad\Longrightarrow\quad y = 4

Se emiten 4 partículas $\alpha$ y 4 partículas $\beta^-$ :

^{222}_{86}\text{Rn} \;\longrightarrow\; ^{206}_{82}\text{Pb} + 4\,^{4}_{2}\text{He} + 4\,^{0}_{-1}\text{e}

Compruébalo construyendo tú la cadena sobre la carta de núcleos, emisión a emisión:

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) ii) El

^{222}_{86}\text{Rn}

tiene

Z = 86

protones y

A - Z = 136

neutrones. Defecto de masa:

\Delta m = \bigl(86\cdot 1{,}007276 + 136\cdot 1{,}008665\bigr) - 222{,}017578

\Delta m = (86{,}625736 + 137{,}178440) - 222{,}017578 = 223{,}804176 - 222{,}017578

\Delta m = 1{,}786598\ \text{u}

Energía de enlace de un núcleo (la que hay que aportar para descomponerlo):

E_1 = \Delta m\,c^2 = 1{,}786598\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^{8})^2

E_1 = 2{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{J} \quad(\approx 1668\ \text{MeV},\ \text{es decir, } 7{,}5\ \text{MeV/nucleón})

Número de núcleos en

10\,\text{g}

. La masa de un núcleo es

m_{\text{núcleo}} = 222{,}017578\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 3{,}69\cdot 10^{-25}\ \text{kg}

N = \frac{0{,}010\ \text{kg}}{3{,}69\cdot 10^{-25}\ \text{kg}} = 2{,}71\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}

Energía total necesaria:

E = N\,E_1 = 2{,}71\cdot 10^{22}\cdot 2{,}67\cdot 10^{-10}

E = 7{,}24\cdot 10^{12}\ \text{J}

Es una cantidad enorme —del orden de la energía de un terremoto moderado— para apenas

10\,\text{g}

de materia: ésa es la escala de la interacción nuclear fuerte.

Consejo

El número de neutrones es $A - Z = 136$ , no $A$ . Es el error que más veces destroza el defecto de masa en los núcleos pesados.

Y no te quedes en la energía de un núcleo: te piden la de $10\,\text{g}$ , así que hay que contar cuántos núcleos hay. Divide la masa total entre la masa de un núcleo (o usa el número de Avogadro con la masa molar; sale lo mismo).