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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Extremadura · 2025 · Junio

Enunciado

Imagina que estás sentado en un banco de la estación de tren de tu ciudad y escuchas el sonido de un tren que se acerca a una velocidad de

30\ \text{m/s}

. El maquinista mide para dicho sonido una frecuencia de

800\ \text{Hz}

.

a) (1 punto) ¿Qué frecuencia medirás tú en esas condiciones?

b) (1 punto) ¿Cuál será el valor de esa frecuencia cuando el tren haya sobrepasado la estación, si ha mantenido constante su velocidad?

c) (0,5 puntos) Ordena los tres valores de frecuencia de más aguda a más grave.

Dato: Velocidad del sonido en el aire:

340\ \text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'_{\text{acerca}} = 877\ \text{Hz}\qquad f'_{\text{aleja}} = 735\ \text{Hz}\;}

\boxed{\;\text{De más aguda a más grave: } 877\ \text{Hz} > 800\ \text{Hz} > 735\ \text{Hz}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el efecto Doppler con el foco (el tren) en movimiento y el observador (tú) en reposo. El maquinista viaja con el foco, así que mide la frecuencia propia de la bocina,

f = 800\ \text{Hz}

.

Cuando el foco se acerca, las ondas que emite se «apelotonan» delante de él: la longitud de onda que llega al observador es menor y la frecuencia, mayor. Cuando se aleja, ocurre lo contrario. La fórmula es

f' = f\,\frac{v}{v \mp v_F}

con el signo

-

si el foco se acerca y

+

si se aleja.

Desarrollo

a) Mientras el tren se acerca, cada frente de onda sale

v_F\,T

más cerca de ti que el anterior, así que la longitud de onda que te llega es

\lambda' = (v - v_F)\,T

y la frecuencia que mides,

f' = v/\lambda'

f'_{\text{acerca}} = f\,\frac{v}{v - v_F} = 800\cdot\frac{340}{340 - 30} = 800\cdot\frac{340}{310} = 877\ \text{Hz}

b) Una vez sobrepasada la estación, el tren se aleja con la misma velocidad. Ahora los frentes salen cada vez más lejos de ti,

\lambda' = (v + v_F)\,T

f'_{\text{aleja}} = f\,\frac{v}{v + v_F} = 800\cdot\frac{340}{340 + 30} = 800\cdot\frac{340}{370} = 735\ \text{Hz}

c) Un sonido es más agudo cuanto mayor es su frecuencia. Ordenando:

877\ \text{Hz}\ (\text{tren acercándose}) > 800\ \text{Hz}\ (\text{maquinista}) > 735\ \text{Hz}\ (\text{tren alejándose})

Es el cambio que se oye cuando un tren o una ambulancia pasan a tu lado: el tono baja de golpe justo al cruzarse contigo.

Consejo

No memorices los signos de la fórmula de Doppler: compruébalos con la intuición. Si el foco se acerca, la frecuencia que se oye sube, así que el denominador tiene que ser menor que $v$ .

El maquinista se mueve con el tren: para él no hay efecto Doppler y oye la frecuencia propia.