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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Extremadura · 2025 · Junio

Enunciado

La figura representa las trayectorias de tres partículas en el seno de un campo magnético uniforme, perpendicular al plano del papel y dirigido hacia dentro. Supongamos que todas tienen la misma masa y cargas de igual valor.

Región rectangular llena de aspas (campo magnético entrante en el papel) con tres trayectorias curvas. La A entra por la esquina superior izquierda moviéndose hacia la derecha y describe una semicircunferencia grande, que ocupa casi todo el alto de la región, girando en sentido horario hasta salir hacia la izquierda por abajo. La B entra por el borde inferior moviéndose hacia arriba y describe una semicircunferencia pequeña en sentido horario, saliendo hacia abajo un poco más a la derecha. La C entra por el borde derecho moviéndose hacia la izquierda y describe un arco de radio intermedio en sentido antihorario, bajando hasta salir por el borde inferior

a) (1,5 puntos) Determina el signo de las cargas que siguen las trayectorias A, B y C.

b) (1 punto) ¿Cuál es la partícula más rápida? Razona tu respuesta

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A:\ \text{negativa}\qquad B:\ \text{negativa}\qquad C:\ \text{positiva}\;}

\boxed{\;\text{La más rápida es A } (r \text{ mayor}):\ v_A > v_C > v_B\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La fuerza magnética,

\vec F = q\,\vec v\times\vec B

, es perpendicular a la velocidad y apunta siempre hacia el centro de la curva que describe la partícula. Calculando

\vec v\times\vec B

en un punto de cada trayectoria y comparando con el sentido en que se curva, se obtiene el signo de la carga.

Para b), igualando la fuerza magnética a la centrípeta se obtiene el radio,

r = mv/(|q|B)

: con la misma masa, carga y campo, el radio es proporcional a la velocidad.

Desarrollo

a) Tomamos

\vec i

hacia la derecha,

\vec j

hacia arriba y

\vec k

saliendo del papel; el campo es

\vec B = -B\,\vec k

.

Para una carga positiva que se mueve hacia la derecha (

\vec v = v\,\vec i

\vec F = q\,v\,\vec i\times(-B\,\vec k) = q\,v\,B\,(-\vec i\times\vec k) = q\,v\,B\,\vec j

La fuerza apunta hacia arriba: una carga positiva que avanza hacia la derecha se curva hacia arriba, es decir, gira en sentido antihorario. Una negativa sufre la fuerza contraria y gira en sentido horario. Con esta regla:

A: entra por arriba moviéndose hacia la derecha y se curva hacia abajo (hacia el centro de su semicircunferencia). Gira en sentido horario: la fuerza es opuesta a $\vec v\times\vec B$ , así que la carga es negativa.
B: entra por abajo moviéndose hacia arriba, en lo alto del arco va hacia la derecha y vuelve a bajar. En lo alto la fuerza apunta hacia abajo (hacia el centro), otra vez opuesta a $\vec v\times\vec B$ : gira en sentido horario y la carga es negativa.
C: entra por la derecha moviéndose hacia la izquierda ( $\vec v = -v\,\vec i$ ) y se curva hacia abajo. Para una carga positiva, $\vec v\times\vec B = -v\,\vec i\times(-B\,\vec k) = -v\,B\,\vec j$ , hacia abajo: coincide con el sentido de la curva. Gira en sentido antihorario y la carga es positiva.

b) La fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:

|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v}{|q|\,B} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{|q|\,B\,r}{m}

Las tres partículas tienen la misma masa, cargas del mismo valor y están en el mismo campo, así que la velocidad es proporcional al radio de la trayectoria. La trayectoria A es la de mayor radio (su semicircunferencia ocupa casi todo el alto de la región), luego A es la partícula más rápida. Le sigue C, y la más lenta es B, la de radio más pequeño:

v_A > v_C > v_B

El signo de la carga no influye en la rapidez: solo decide hacia qué lado se curva la trayectoria.

Consejo

Con el campo entrando en el papel, las cargas positivas giran en sentido antihorario y las negativas en sentido horario (al revés si el campo sale). Pero no te fíes de la memoria: comprueba siempre con $\vec v\times\vec B$ en un punto donde la velocidad sea fácil de leer.

Antes de decidir el signo, fíjate en por dónde entra la partícula: el mismo arco recorrido al revés corresponde a la carga contraria.