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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

También trata: Campo y potencial eléctrico

Extremadura · 2025 · Junio

Enunciado

a) (0,75 puntos) Un electrón es acelerado desde el reposo mediante una diferencia de potencial de

150\ \text{V}

. ¿Qué velocidad máxima alcanza en estas condiciones? Si no has conseguido resolver esta cuestión, toma, para las siguientes cuestiones de esta pregunta el valor de velocidad

v = 7200\ \text{km/s}

.

b) (1 punto) Una vez alcanzada dicha velocidad, el electrón entra en una región en la que hay un campo eléctrico y un campo magnético constantes, mutuamente perpendiculares a la trayectoria del electrón. La magnitud del campo eléctrico es de

6\cdot 10^{6}\ \text{N/C}

. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético, en unidades del Sistema Internacional, necesaria para que el electrón atraviese esa región sin modificar su trayectoria?

c) (0,75 puntos) Si fuera un protón el que entrase en la región de campos eléctrico y magnético de la cuestión b), razona cómo se modificaría la intensidad del campo magnético para que el protón atravesase esa región sin cambiar su trayectoria. Ten en cuenta que un protón tiene una masa unas

1395

veces la de un electrón.

Datos: Valor de la carga del electrón:

q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

; Masa del electrón:

m = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v = 7{,}26\cdot 10^{6}\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;B = 0{,}826\ \text{T}\;}

\boxed{\;\text{Misma } v:\ B \text{ no cambia.}\quad \text{Mismos } 150\ \text{V}:\ B_p = \sqrt{1395}\,B = 30{,}9\ \text{T}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el trabajo del campo eléctrico,

|q|\,\Delta V

, se convierte entero en energía cinética.

En b) los dos campos forman un selector de velocidades: el electrón no se desvía si la fuerza eléctrica y la magnética se anulan,

|q|E = |q|vB

, es decir,

B = E/v

.

En c) esa condición no depende ni de la masa ni del signo de la carga: solo de la velocidad. Lo que cambia con un protón es la velocidad que alcanza si se acelera con la misma diferencia de potencial: al ser mucho más pesado, va mucho más despacio y necesita un campo magnético mayor.

Desarrollo

a) El campo eléctrico realiza sobre el electrón un trabajo

W = |q|\,\Delta V

, que se convierte en energía cinética (parte del reposo):

|q|\,\Delta V = \frac{1}{2}m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,|q|\,\Delta V}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 150}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 7{,}26\cdot 10^{6}\ \text{m/s}

Es decir, unos

7260\ \text{km/s}

, muy cerca del valor de repuesto que da el enunciado (

7200\ \text{km/s}

). Es un 2,4 % de la velocidad de la luz, así que el cálculo clásico es válido.

b) Sobre el electrón actúan la fuerza eléctrica

\vec F_E = q\vec E

y la magnética

\vec F_B = q\,\vec v\times\vec B

. Con

\vec E

\vec B

\vec v

perpendiculares entre sí, las dos fuerzas tienen la misma dirección; para que la trayectoria no cambie deben tener sentidos opuestos y el mismo módulo:

|q|\,E = |q|\,v\,B \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{E}{v} = \frac{6\cdot 10^{6}}{7{,}26\cdot 10^{6}} = 0{,}826\ \text{T}

(Con el valor de repuesto,

v = 7{,}2\cdot 10^{6}\ \text{m/s}

, saldría

B = 0{,}833\ \text{T}

.)

El sentido de

\vec B

se elige para que la fuerza magnética se oponga a la eléctrica. Por ejemplo, si el electrón avanza según

+\vec i

\vec E

apunta según

+\vec j

, la fuerza eléctrica sobre el electrón va hacia

-\vec j

, y la magnética debe ir hacia

+\vec j

: eso exige

\vec B

según

+\vec k

(saliendo del papel).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) La condición de equilibrio

B = E/v

no contiene ni la masa ni la carga. Además, si la carga cambia de signo, las dos fuerzas se invierten a la vez y siguen anulándose, así que el sentido de

\vec B

tampoco cambia. Por tanto:

Si el protón entrase con la misma velocidad que el electrón, no habría que modificar nada: el mismo $B$ lo deja pasar sin desviarse.
Si el protón se acelera, como el electrón, con la misma diferencia de potencial de $150\ \text{V}$ (que es lo que sugiere el dato de la masa), gana la misma energía cinética, $|q|\,\Delta V$ , pero con una masa $1395$ veces mayor su velocidad es $\sqrt{1395}$ veces menor:

v_p = v_e\sqrt{\frac{m_e}{m_p}} = \frac{7{,}26\cdot 10^{6}}{\sqrt{1395}} = 1{,}94\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

Como

B = E/v

, el campo magnético tendría que ser

\sqrt{1395} \approx 37{,}3

veces mayor:

B_p = \frac{E}{v_p} = \frac{6\cdot 10^{6}}{1{,}94\cdot 10^{5}} = 30{,}9\ \text{T}

Un detalle del enunciado: la masa real del protón es unas

1836

veces la del electrón, no

1395

. Con el valor real,

v_p = 1{,}70\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

B_p = 35{,}4\ \text{T}

; el razonamiento es el mismo.

Consejo

En un selector de velocidades la condición $v = E/B$ es la misma para cualquier partícula: ni la masa ni el signo de la carga importan. Si te dan la masa, pregúntate qué cambia por ella: casi siempre, la velocidad con que llega la partícula.

Y en a) usa el valor absoluto de la carga: la energía cinética no puede salir negativa.