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Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2025 · Junio

Enunciado

Dos estudiantes de segundo de bachillerato de Extremadura, Iván y Laia, han sido seleccionados por la agencia espacial europea (ESA) para realizar una misión cerca de la estación espacial internacional (ISS). La misión consiste en recoger un trozo de basura espacial de

20\ \text{kg}

de masa que puede impactar con la estación ISS y dañarla. En un momento dado, el trozo de basura se sitúa entre ellos a

3

metros de Laia y

9

metros de Iván. Suponiendo que cada estudiante tiene una masa, incluido su traje espacial, de

120\ \text{kg}

:

a) (1 punto) Calcula el valor de la intensidad de campo gravitatorio, debido a los dos estudiantes, en el punto donde se encuentra el trozo de basura. ¿Hacia dónde está dirigido dicho campo?

b) (0,75 puntos) Teniendo en cuenta exclusivamente la interacción gravitatoria de los dos estudiantes sobre el trozo de basura, determina el trabajo que hay que realizar para trasladarlo desde su posición actual hasta una posición muy alejada, fuera del campo gravitatorio.

c) (0,75 puntos) Tras cumplir con éxito esta primera misión, los estudiantes se dirigen hacia la Luna. Iván se queda en la nave espacial, mientras que Laia desciende a la superficie lunar. Halla el peso de Laia (incluido su traje espacial) en la superficie de la Luna.

Datos: Constante de Gravitación Universal:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

; Masa de la Luna:

M_L = 7{,}34\cdot 10^{22}\ \text{kg}

; Radio de la Luna

R_L = 1740\ \text{km}

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Resultado

\boxed{\;g = 7{,}91\cdot 10^{-10}\ \text{N/kg},\ \text{dirigido hacia Laia}\;}

\boxed{\;W_{\text{ext}} = 7{,}11\cdot 10^{-8}\ \text{J}\;}

\boxed{\;P_L = 194\ \text{N}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) cada estudiante crea en el trozo de basura un campo que apunta hacia él. Como la basura está entre los dos, los campos tienen sentidos opuestos: se restan los módulos y gana el de Laia, que está más cerca.

En b) el trabajo que hay que realizar (una fuerza externa, sin ganar energía cinética) es la variación de energía potencial entre la posición final (el infinito,

E_p = 0

) y la inicial. La energía potencial se suma como escalar: no hay que pensar en direcciones.

En c) el peso es

m\,g_L

, con la gravedad en la superficie lunar

g_L = G M_L/R_L^2

Desarrollo

Tomamos el eje

X

sobre la recta que une a los estudiantes, con Laia en

x = -3\ \text{m}

, Iván en

x = 9\ \text{m}

y el trozo de basura en el origen.

a) Módulo del campo de cada estudiante (

m = 120\ \text{kg}

) en el trozo de basura:

g_{\text{Laia}} = \frac{G\,m}{d_L^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 120}{3^2} = 8{,}89\cdot 10^{-10}\ \text{N/kg}

g_{\text{Iván}} = \frac{G\,m}{d_I^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 120}{9^2} = 9{,}88\cdot 10^{-11}\ \text{N/kg}

El de Laia apunta hacia Laia (

-\vec i

) y el de Iván hacia Iván (

+\vec i

). Sumando como vectores:

\vec g = -8{,}89\cdot 10^{-10}\,\vec i + 9{,}88\cdot 10^{-11}\,\vec i = -7{,}91\cdot 10^{-10}\,\vec i\ \ \text{N/kg}

El campo total vale

7{,}91\cdot 10^{-10}\ \text{N/kg}

y está dirigido hacia Laia. Es diminuto: las masas de las personas apenas crean campo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Energía potencial del trozo de basura (

m' = 20\ \text{kg}

) en su posición actual, con el origen de energías en el infinito:

E_{p,0} = -G\,m\,m'\left(\frac{1}{d_L} + \frac{1}{d_I}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 120\cdot 20\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = -7{,}11\cdot 10^{-8}\ \text{J}

El trabajo del campo al llevarlo al infinito es

W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -(0 - E_{p,0}) = -7{,}11\cdot 10^{-8}\ \text{J}

: negativo, porque el campo se opone a que se aleje. El trabajo que hay que realizar (fuerza externa, llevándolo sin aumentar su energía cinética) es el contrario:

W_{\text{ext}} = \Delta E_p = 0 - \left(-7{,}11\cdot 10^{-8}\right) = 7{,}11\cdot 10^{-8}\ \text{J}

c) Gravedad en la superficie de la Luna, con

R_L = 1{,}74\cdot 10^{6}\ \text{m}

g_L = \frac{G\,M_L}{R_L^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}34\cdot 10^{22}}{(1{,}74\cdot 10^{6})^2} = 1{,}62\ \text{N/kg}

Peso de Laia con su traje:

P = m\,g_L = 120\cdot 1{,}617 = 194\ \text{N}

Unas seis veces menos que en la Tierra (

120\cdot 9{,}8 \approx 1180\ \text{N}

); su masa, en cambio, sigue siendo

120\ \text{kg}

Consejo

Distingue bien el trabajo del campo del trabajo que hay que realizar: son iguales y de signo contrario. Para sacar una masa de un pozo gravitatorio hay que hacer trabajo positivo.

Y recuerda que el campo se suma como vector (aquí los dos se restan) y la energía potencial como escalar (aquí las dos contribuciones se suman).

Paso 1 de 3

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Sigue practicando

Campo y potencial gravitatorio

Responda a1 o a2 a1) Dos masas puntuales,