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Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Extremadura · 2025 · Julio

Enunciado

Sabiendo que la longitud de onda umbral del oro es

227\ \text{nm}

, determina:

a) (1 punto) La energía cinética de los electrones emitidos de una plancha de este metal si se ilumina su superficie con una radiación incidente de

180\ \text{nm}

.

b) (1 punto) El potencial de frenado de dichos electrones.

c) (0,5 puntos) Calcula la longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos.

Datos: Constante de Planck

h = 6{,}626\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

; Valor de la carga del electrón:

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

. Velocidad de la luz en el vacío:

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}

. Masa del electrón:

m = 9{,}11\cdot 10^{-34}\ \text{kg}

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Resultado

\boxed{\;E_c = 2{,}29\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}43\ \text{eV}\;}

\boxed{\;V_f = 1{,}43\ \text{V}\qquad \lambda_{DB} = 1{,}03\cdot 10^{-9}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía del fotón se gasta en arrancar el electrón (trabajo de extracción, que se calcula con la longitud de onda umbral) y el resto queda como energía cinética máxima,

E_c = hc/\lambda - hc/\lambda_0

.

El potencial de frenado es el que detiene a esos electrones,

e\,V_f = E_c

. Y la longitud de onda de De Broglie sale del momento lineal del electrón,

p = \sqrt{2mE_c}

.

Ojo: el dato de la masa del electrón tiene una errata (es

9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

, no

10^{-34}

); usamos el valor correcto.

Desarrollo

a) Trabajo de extracción del oro, a partir de la longitud de onda umbral:

W_0 = \frac{h\,c}{\lambda_0} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{227\cdot 10^{-9}} = 8{,}76\cdot 10^{-19}\ \text{J}\ \ (5{,}47\ \text{eV})

Energía de cada fotón incidente:

E = \frac{h\,c}{\lambda} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{180\cdot 10^{-9}} = 1{,}10\cdot 10^{-18}\ \text{J}\ \ (6{,}90\ \text{eV})

Como

\lambda = 180\ \text{nm} < \lambda_0 = 227\ \text{nm}

, el fotón supera el umbral y hay emisión. Energía cinética máxima de los electrones:

E_c = E - W_0 = 1{,}104\cdot 10^{-18} - 8{,}757\cdot 10^{-19} = 2{,}29\cdot 10^{-19}\ \text{J}\ \ (1{,}43\ \text{eV})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El potencial de frenado es la diferencia de potencial que, aplicada en contra, detiene justo a los electrones más rápidos: el trabajo eléctrico iguala su energía cinética.

e\,V_f = E_c \quad\Longrightarrow\quad V_f = \frac{E_c}{e} = \frac{2{,}29\cdot 10^{-19}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 1{,}43\ \text{V}

c) Momento lineal del electrón (no relativista, pues

E_c

es mucho menor que la energía en reposo del electrón,

0{,}511\ \text{MeV}

p = \sqrt{2\,m\,E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}29\cdot 10^{-19}} = 6{,}45\cdot 10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m/s}

(su velocidad es

v = p/m = 7{,}09\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

). Longitud de onda de De Broglie:

\lambda_{DB} = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}}{6{,}45\cdot 10^{-25}} = 1{,}03\cdot 10^{-9}\ \text{m} \approx 1{,}03\ \text{nm}

Con el dato literal del enunciado (

9{,}11\cdot 10^{-34}\ \text{kg}

) saldría

3{,}25\cdot 10^{-8}\ \text{m}

, pero esa no es la masa del electrón.

Consejo

Un truco para no perderte con las potencias de diez: si pasas las energías a electronvoltios, el potencial de frenado en voltios es el mismo número que la energía cinética en eV.

Fíjate en los datos que da el enunciado: la masa del electrón es $9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ . Si un dato no cuadra con lo que sabes, dilo en el examen y usa el valor correcto.