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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Extremadura · 2025 · Julio

Enunciado

En una cuerda tensa se propaga una onda armónica en la dirección del eje X. La ecuación de la onda viene dada por:

y = 0{,}05\,\sin(2\pi x - 4\pi t)

, donde

y

está en metros,

x

en metros y

t

en segundos.

a) (0,5 puntos) Determina la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular de la onda.

b) (0,5 puntos) Calcula la frecuencia y la longitud de onda.

c) (0,5 puntos) Halla la velocidad de propagación de la onda y especifica su sentido de propagación.

d) (0,5 puntos) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en el punto

x = 2\ \text{m}

en el instante

t = 1\ \text{s}

.

e) (0,5 puntos) Halla la velocidad de oscilación transversal de dicho punto

x = 2\ \text{m}

en el instante

t = 1\ \text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A = 0{,}05\ \text{m}\qquad k = 2\pi\ \text{rad/m}\qquad \omega = 4\pi\ \text{rad/s}\;}

\boxed{\;f = 2\ \text{Hz}\qquad \lambda = 1\ \text{m}\qquad v = 2\ \text{m/s hacia } +X\;}

\boxed{\;y(2,\,1) = 0\qquad v_y(2,\,1) = -0{,}2\pi \approx -0{,}628\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Comparamos la ecuación con la forma general

y = A\sin(kx - \omega t)

y leemos directamente

A

k

\omega

. De ahí salen

f = \omega/2\pi

\lambda = 2\pi/k

v = \lambda f = \omega/k

. Los signos opuestos de

kx

\omega t

indican que la onda avanza hacia

+X

.

Para d) sustituimos

x

t

en la ecuación; para e), derivamos

y

respecto del tiempo con

x

fijo y sustituimos.

Desarrollo

a) Por comparación con

y = A\sin(kx - \omega t)

A = 0{,}05\ \text{m}\qquad k = 2\pi\ \text{rad/m}\approx 6{,}28\ \text{rad/m}\qquad \omega = 4\pi\ \text{rad/s}\approx 12{,}6\ \text{rad/s}

b) Frecuencia y longitud de onda:

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2\ \text{Hz}\qquad \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\ \text{m}

c) Velocidad de propagación:

v = \lambda\,f = 1\cdot 2 = 2\ \text{m/s}\qquad \left(\text{o bien } v = \frac{\omega}{k} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2\ \text{m/s}\right)

Como

kx

\omega t

aparecen con signos opuestos, la fase se conserva si

x

crece al crecer

t

: la onda se propaga en el sentido positivo del eje X.

d) Sustituyendo

x = 2\ \text{m}

t = 1\ \text{s}

y(2,\,1) = 0{,}05\,\sin(2\pi\cdot 2 - 4\pi\cdot 1) = 0{,}05\,\sin(0) = 0\ \text{m}

El punto pasa en ese instante por su posición de equilibrio.

e) La velocidad de vibración es la derivada de

y

respecto del tiempo:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}05\cdot(-4\pi)\cos(2\pi x - 4\pi t) = -0{,}2\pi\,\cos(2\pi x - 4\pi t)\ \text{m/s}

x = 2\ \text{m}

t = 1\ \text{s}

el argumento vuelve a ser

0

v_y(2,\,1) = -0{,}2\pi\cos 0 = -0{,}628\ \text{m/s}

Es la velocidad máxima en valor absoluto,

A\omega = 0{,}628\ \text{m/s}

, como corresponde a un punto que pasa por el equilibrio. El signo menos indica que en ese instante baja (sentido

-Y

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las dos velocidades: la de propagación, $v = \omega/k$ , es constante y dice lo rápido que avanza la forma de la onda; la de vibración, $\partial y/\partial t$ , cambia con $x$ y $t$ y es la de cada trozo de cuerda que sube y baja.

Cuando la elongación sale cero, la velocidad de vibración es máxima: te sirve de comprobación.