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Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2025 · Julio

Enunciado

La Estrella de la Muerte es una estación espacial ficticia dentro del universo de Star Wars, que ha aparecido a lo largo de la saga hasta en cinco ocasiones, la última en «Rogue One: una historia de Star Wars», donde se muestra como el arma más poderosa del Imperio Galáctico, capaz de destruir planetas por completo.

Se puede hacer una estimación del tamaño de la Estrella de la Muerte comparando distintos fotogramas a lo largo de las diferentes películas llegando a la conclusión de que tendrá un diámetro de

900\ \text{km}

y un valor de la gravedad igual a

2/3

la de la Tierra. Con estos valores:

a) (0,75 puntos) Determina la masa para la Estrella de la Muerte.

b) (0,75 puntos) Han Solo, uno de los protagonistas de la saga de Star Wars, tripula la nave llamada Halcón Milenario. Calcula el valor de la fuerza de atracción gravitatoria sobre dicha nave si está situada a una distancia de

250\ \text{km}

de la superficie de la Estrella de la Muerte (

m_{\text{Halcón Milenario}} = 500\ \text{kg}

).

c) (0,5 puntos) ¿Qué velocidad necesitaría aplicar Han Solo a su nave para escapar de la atracción gravitatoria de la Estrella de la Muerte si estuviera en su superficie?

d) (0,5 puntos) Si ahora imaginamos que la Estrella de la Muerte está situada en el lugar de nuestra Luna, calcula el trabajo que habría que realizar para llevarla al infinito y que no nos destruya.

Datos: Constante de Gravitación Universal:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

; Masa de la Tierra:

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}

; Radio de la Tierra:

R_T = 6370\ \text{km}

; Distancia Tierra-Luna:

d_{T\text{-}L} = 384\,400\ \text{km}

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Resultado

\boxed{\;M_E = 1{,}99\cdot 10^{22}\ \text{kg}\qquad F = 1{,}35\cdot 10^{3}\ \text{N}\;}

\boxed{\;v_e = 2{,}43\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad W_{\text{ext}} = 2{,}06\cdot 10^{28}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La gravedad en la superficie de un cuerpo esférico es

g_0 = GM/R^2

. Primero calculamos la de la Tierra con sus datos, tomamos sus dos tercios y despejamos la masa de la Estrella con su radio, que es la mitad del diámetro.

Con la masa ya conocida, la fuerza sobre la nave sale de la ley de gravitación, midiendo la distancia desde el centro de la Estrella. La velocidad de escape es la que anula la energía mecánica en la superficie. Y el trabajo para llevar la Estrella al infinito desde la órbita lunar es menos su energía potencial en el campo de la Tierra.

Desarrollo

a) Gravedad en la superficie de la Tierra, con

R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

g_T = \frac{G\,M_T}{R_T^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{(6{,}37\cdot 10^{6})^2} = 9{,}83\ \text{m/s}^2

La de la Estrella de la Muerte es dos tercios de esa:

g_E = \frac{2}{3}\,g_T = 6{,}55\ \text{m/s}^2

Su radio es la mitad del diámetro:

R_E = 450\ \text{km} = 4{,}5\cdot 10^{5}\ \text{m}

. De

g_E = G M_E/R_E^2

despejamos la masa:

M_E = \frac{g_E\,R_E^2}{G} = \frac{6{,}553\cdot (4{,}5\cdot 10^{5})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 1{,}99\cdot 10^{22}\ \text{kg}

Para hacerse una idea: es casi cuatro veces menor que la masa de la Luna, pero su radio también es casi cuatro veces menor, así que su volumen es unas 60 veces menor. La estación sería unas 15 veces más densa que la Luna (unos

5\cdot 10^{4}\ \text{kg/m}^3

).

b) La nave está a

250\ \text{km}

de la superficie, así que su distancia al centro es

r = R_E + h = 450 + 250 = 700\ \text{km} = 7{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m}

Ley de gravitación universal:

F = \frac{G\,M_E\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{22}\cdot 500}{(7{,}0\cdot 10^{5})^2} = 1{,}35\cdot 10^{3}\ \text{N}

La fuerza va dirigida hacia el centro de la Estrella. Equivale a un campo de

2{,}71\ \text{N/kg}

a esa altura.

c) En la superficie, la nave escapa si su energía mecánica es al menos cero (llega al infinito con velocidad nula):

\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M_E\,m}{R_E} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_E}{R_E}} = \sqrt{2\,g_E\,R_E}

v_e = \sqrt{2\cdot 6{,}553\cdot 4{,}5\cdot 10^{5}} = 2{,}43\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

No depende de la masa de la nave.

d) En el lugar de la Luna, la Estrella está a

d = 3{,}844\cdot 10^{8}\ \text{m}

del centro de la Tierra. Su energía potencial en el campo terrestre, con el origen en el infinito, es

E_p = -\frac{G\,M_T\,M_E}{d} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 1{,}99\cdot 10^{22}}{3{,}844\cdot 10^{8}} = -2{,}06\cdot 10^{28}\ \text{J}

El trabajo que hay que realizar (fuerza externa, llevándola sin que gane energía cinética) es igual a la variación de energía potencial:

W_{\text{ext}} = E_p(\infty) - E_p(d) = 0 - \left(-2{,}06\cdot 10^{28}\right) = 2{,}06\cdot 10^{28}\ \text{J}

Es positivo: hay que vencer la atracción de la Tierra. El campo, en cambio, realiza un trabajo de

-2{,}06\cdot 10^{28}\ \text{J}

.

Si se tiene en cuenta que, en el lugar de la Luna, la Estrella orbitaría la Tierra, ya tendría energía cinética y su energía mecánica sería

E_p/2

; entonces bastaría con la mitad,

1{,}03\cdot 10^{28}\ \text{J}

. El enunciado dice solo que está «situada» allí, así que damos como resultado el primer valor.

Consejo

El dato es el diámetro, no el radio: divide entre dos antes de nada. Y en b) la distancia se mide desde el centro de la Estrella, no desde su superficie: suma el radio a la altura.

Cuando el enunciado da la gravedad en vez de la masa, recuerda que $G M = g_0 R^2$ : así escribes la fuerza o la velocidad de escape directamente con $g_0$ y $R$ .