Campo y potencial eléctrico

Datos en el SI: $q = -20\ \text{nC} = -2{,}0\cdot 10^{-8}\ \text{C}$ (las tres) y $a = 3\ \text{cm} = 0{,}03\ \text{m}$.

a) La energía potencial de una pareja de cargas a distancia $a$ es $E_p = K_0\,q_iq_j/a$. Las tres parejas (1-2, 1-3 y 2-3) están a la misma distancia y tienen el mismo producto $q_iq_j = q^2 > 0$:$$E_p = 3\,\frac{K_0\,q^2}{a} = 3\cdot\frac{9{,}00\cdot 10^{9}\cdot\left(2{,}0\cdot 10^{-8}\right)^2}{0{,}03} = 3{,}60\cdot 10^{-4}\ \text{J}$$Inicialmente las cargas están muy alejadas y la energía potencial es nula. El trabajo que debe realizar un agente externo para formar la configuración (llevándolas despacio, sin darles energía cinética) es igual al aumento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = E_p - 0 = 3{,}60\cdot 10^{-4}\ \text{J}$$Interpretación del signo: el trabajo externo es positivo porque las cargas se repelen; hay que empujarlas unas contra otras venciendo la fuerza eléctrica. El campo eléctrico realiza el trabajo opuesto, $W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -3{,}60\cdot 10^{-4}\ \text{J}$. Esa energía queda almacenada en el sistema: si se soltaran las cargas, se separarían y la convertirían en energía cinética.

b) El módulo de la fuerza entre dos cargas cualesquiera es, por la ley de Coulomb:$$F = \frac{K_0\,q^2}{a^2} = \frac{9{,}00\cdot 10^{9}\cdot\left(2{,}0\cdot 10^{-8}\right)^2}{(0{,}03)^2} = 4{,}00\cdot 10^{-3}\ \text{N}$$Esquema: sobre cada carga actúan dos fuerzas de repulsión, de módulo $F$, dirigidas a lo largo de los dos lados que llegan a su vértice y apuntando hacia fuera (alejándose de las otras dos cargas). Las dos forman entre sí el ángulo del triángulo, $60^\circ$. Por simetría, su resultante va por la bisectriz del vértice, en el sentido que se aleja del centro del triángulo. Los tres vectores resultantes salen radialmente del centro, separados $120^\circ$.

Cada fuerza forma $30^\circ$ con la bisectriz; las componentes perpendiculares se anulan y las paralelas se suman:$$F_{\text{res}} = 2\,F\cos 30^\circ = \sqrt{3}\,F = \sqrt{3}\cdot 4{,}00\cdot 10^{-3} = 6{,}93\cdot 10^{-3}\ \text{N}$$Coherencia con a): sí. Las fuerzas son repulsivas y empujan cada carga hacia fuera del triángulo; para juntarlas hay que vencer esas fuerzas, y por eso el trabajo externo de a) es positivo. Si las cargas quedaran libres, esas mismas fuerzas las separarían y la energía potencial positiva se transformaría en cinética.