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Radiactividad y desintegración

Castilla y León · 2025 · Julio

Enunciado

Un paciente se somete a una prueba diagnóstica en la que se le inyecta un fármaco que contiene tecnecio-99 metaestable (

^{99}\text{Tc-m}

), cuyo periodo de semidesintegración es de

6\ \text{h}

. Este se fija en el órgano de interés y se detecta la emisión radiactiva que produce. La actividad inicial de la sustancia inyectada debe ser

5\cdot 10^{8}\ \text{Bq}

. Calcule:

a) La masa de isótopo radiactivo que hay que inyectarle. (1 punto)

b) El tiempo que ha de transcurrir para que la actividad del isótopo sea de

10^{4}\ \text{Bq}

. (1 punto)

Datos (de la tabla de constantes del examen):

N_A = 6{,}022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

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Resultado

\boxed{\;m = 2{,}56\cdot 10^{-9}\ \text{g}\ \ (N_0 = 1{,}56\cdot 10^{13}\ \text{núcleos})\;}

\boxed{\;t = 3{,}37\cdot 10^{5}\ \text{s} = 93{,}7\ \text{h}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad es el número de desintegraciones por segundo,

A = \lambda N

, con

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

\text{s}^{-1}

. De la actividad inicial se obtiene el número de núcleos y, con la masa molar (unos

99\ \text{g/mol}

, el número másico), su masa. Para b), la actividad decae exponencialmente igual que el número de núcleos,

A = A_0 e^{-\lambda t}

, y se despeja el tiempo con logaritmos.

Desarrollo

a) Constante de desintegración, con el periodo en segundos (

6\ \text{h} = 21\,600\ \text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{21\,600} = 3{,}21\cdot 10^{-5}\ \text{s}^{-1}

Número de núcleos de

^{99}\text{Tc-m}

que dan esa actividad:

A_0 = \lambda N_0\quad\Longrightarrow\quad N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{5\cdot 10^{8}}{3{,}209\cdot 10^{-5}} = 1{,}56\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}

Masa, tomando como masa molar del isótopo

M \approx 99\ \text{g/mol}

(el enunciado no da su masa atómica exacta):

m = \frac{N_0}{N_A}\,M = \frac{1{,}558\cdot 10^{13}}{6{,}022\cdot 10^{23}}\cdot 99 = 2{,}56\cdot 10^{-9}\ \text{g}

Unos 2,56 nanogramos: una cantidad minúscula basta para tener una actividad de quinientos millones de becquerelios, porque el periodo es corto.

b) Ley de desintegración aplicada a la actividad:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{A_0}{A} = \frac{1}{3{,}209\cdot 10^{-5}}\ln\frac{5\cdot 10^{8}}{10^{4}}

t = \frac{\ln(5\cdot 10^{4})}{3{,}209\cdot 10^{-5}} = \frac{10{,}82}{3{,}209\cdot 10^{-5}} = 3{,}37\cdot 10^{5}\ \text{s} = 93{,}7\ \text{h}

Son unos 3,9 días, es decir, unos 15,6 periodos de semidesintegración: en ese tiempo la actividad se divide entre

5\cdot 10^{4} \approx 2^{15{,}6}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $A = \lambda N$ la actividad va en becquerelios (desintegraciones por segundo), así que $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ : pasa el periodo a segundos antes de nada.

Para pasar de núcleos a masa usa moles: $m = (N/N_A)\cdot M$ , con $M$ en g/mol.