Movimiento armónico simple

a) Periodo y pulsación:$$T = \frac{20\ \text{s}}{4} = 5{,}0\ \text{s}\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5{,}0} = 1{,}26\ \text{rad/s}$$Constante elástica de la cuerda:$$k = m\,\omega^2 = 50\cdot 1{,}257^2 = 79{,}0\ \text{N/m}$$Llamamos $y$ a la elongación medida desde la posición de equilibrio (donde el peso se compensa con la fuerza de la cuerda), con $-2{,}8\ \text{m} \le y \le 2{,}8\ \text{m}$. En una oscilación vertical, si se toma ese punto como referencia, la energía potencial total (elástica más gravitatoria) vale $\frac{1}{2}ky^2$, igual que en un muelle horizontal.

Energía mecánica (constante, sin rozamiento):$$E_m = \frac{1}{2}k A^2 = \frac{1}{2}\cdot 78{,}96\cdot 2{,}8^2 = 310\ \text{J}$$Energía potencial:$$E_p(y) = \frac{1}{2}k\,y^2 = 39{,}5\,y^2\ \ (\text{J},\ y\ \text{en m})$$Energía cinética:$$E_c(y) = E_m - E_p = \frac{1}{2}k\left(A^2 - y^2\right) = 310 - 39{,}5\,y^2\ \ (\text{J})$$Algunos valores:Representación (posición $y$ en abscisas, de $-2{,}8$ a $2{,}8\ \text{m}$; energía en ordenadas):

• $E_m$: una recta horizontal a la altura de $310\ \text{J}$.
• $E_p$: una parábola abierta hacia arriba con el vértice en el origen ($E_p = 0$ en el equilibrio) que llega a $310\ \text{J}$ en los extremos, $y = \pm 2{,}8\ \text{m}$.
• $E_c$: una parábola abierta hacia abajo, máxima ($310\ \text{J}$) en el equilibrio y nula en los extremos.

Las dos parábolas se cortan en $y = \pm A/\sqrt 2 = \pm 1{,}98\ \text{m}$, donde cada una vale la mitad de la energía mecánica. En cada punto la suma de las dos es $310\ \text{J}$.

b) La amiga tarda $3\ \text{s}$ en media oscilación, así que su periodo es $T' = 6\ \text{s}$. Con la misma cuerda ($k = 79{,}0\ \text{N/m}$):$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{m'}{k}}\quad\Longrightarrow\quad m' = \frac{k\,T'^2}{4\pi^2} = \frac{78{,}96\cdot 6^2}{4\pi^2} = 72\ \text{kg}$$O, sin pasar por $k$: $m'/m = (T'/T)^2 = (6/5)^2 = 1{,}44$, y $m' = 1{,}44\cdot 50 = 72\ \text{kg}$. Tiene más masa y por eso oscila más despacio.