Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) En la superficie, con velocidad $v_0$, la energía mecánica es:$$E_0 = \frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_T m}{R_T}$$En la órbita circular de radio $r = 5R_T$, la velocidad orbital cumple $m v^2/r = G M_T m/r^2$, así que su energía cinética es la mitad de su energía potencial cambiada de signo:$$E_{\text{órbita}} = \frac{1}{2}m\frac{G M_T}{r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r} = -\frac{G M_T m}{10\,R_T}$$La velocidad de lanzamiento mínima es la que aporta exactamente esa energía (sin rozamiento, se conserva):$$\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{G M_T m}{10\,R_T}\quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T}\left(1 - \frac{1}{10}\right)} = \sqrt{\frac{9}{5}\,\frac{G M_T}{R_T}}$$Con $G M_T = g_0 R_T^2$:$$v_0 = \sqrt{\frac{9}{5}\,g_0\,R_T} = \sqrt{\frac{9}{5}\cdot 9{,}80\cdot 6{,}38\cdot 10^{6}} = 1{,}06\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$$La masa del satélite se simplifica: el resultado vale para cualquier satélite.

(Otra lectura posible del enunciado: como el lanzamiento es vertical, el satélite llega a la altura de la órbita con velocidad nula y después hay que darle la velocidad orbital con los motores; si solo se pide que alcance esa altura, basta $\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{G M_T m}{5R_T}$, es decir, $v_0 = \sqrt{8 g_0 R_T/5} = 1{,}00\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$. La lectura de arriba es la habitual cuando se pide «situarlo en órbita»: la energía que se comunica en el lanzamiento es la que el satélite necesita ya en órbita. Conviene indicar en el examen cuál se usa.)

b) Velocidad de escape: la energía mecánica debe ser nula para que llegue al infinito con velocidad cero.$$\frac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_p m}{R_p} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_p}{R_p}} = \sqrt{2\,g_p\,R_p}$$donde se ha usado $G M_p = g_p R_p^2$. Con $g_p = g_0/2$ y $R_p = R_T/2$:$$v_e = \sqrt{2\cdot\frac{g_0}{2}\cdot\frac{R_T}{2}} = \sqrt{\frac{g_0\,R_T}{2}} = \sqrt{\frac{9{,}80\cdot 6{,}38\cdot 10^{6}}{2}} = 5{,}59\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Comparando con la Tierra, $v_{e,T} = \sqrt{2 g_0 R_T} = 1{,}12\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$, la del planeta es justo la mitad: $v_e \propto \sqrt{gR}$ y el producto $gR$ se ha dividido entre 4.