Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Radio de la órbita:$$r = R_T + h = 6{,}38\cdot 10^{6} + 1{,}00\cdot 10^{6} = 7{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Energía potencial gravitatoria (origen en el infinito):$$E_p = -\frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 100}{7{,}38\cdot 10^{6}} = -5{,}40\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Es negativa porque el origen está en el infinito y la fuerza es atractiva: habría que aportar $5{,}40\cdot 10^{9}\ \text{J}$ para alejar al astronauta indefinidamente.

¿Vale $E = mgh$? No. Esa expresión supone que $g$ es constante en todo el recorrido, lo que solo es aceptable si $h \ll R_T$. Aquí $h = 1000\ \text{km}$ es del orden de un 16 % del radio terrestre, y la gravedad a esa altura es:$$g(h) = \frac{G\,M_T}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{(7{,}38\cdot 10^{6})^2} = 7{,}32\ \text{m/s}^2$$bastante menor que $g_0 = 9{,}80\ \text{m/s}^2$. Además, $mgh$ toma el origen de energías en el suelo, no en el infinito, así que no da la energía potencial absoluta sino una diferencia. Incluso como diferencia falla: $m\,g_0\,h = 100\cdot 9{,}80\cdot 10^{6} = 9{,}80\cdot 10^{8}\ \text{J}$, mientras que la variación real entre el suelo y la órbita es$$\Delta E_p = G\,M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right) = 8{,}47\cdot 10^{8}\ \text{J}$$un 14 % menor que lo que da $m\,g_0\,h$.

b) En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}$$$$v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{7{,}38\cdot 10^{6}}} = 7{,}35\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$No depende de la masa del astronauta: cualquier objeto en esa órbita (su traje, una llave suelta) va a la misma velocidad.