Radiactividad y desintegración

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. Nos dicen que el núcleo inicial tiene un exceso de neutrones; por tanto, se estabilizará convirtiendo un neutrón en protón. Como tendremos un protón de más, $Z$ pasa de 11 a 12 y, por tanto, el nuevo elemento será el magnesio-24.

1,0 p. En la reacción de transformación de un neutrón en un protón, se emite un electrón para respetar la conservación de la carga eléctrica.

O alternativamente, ${}^{1}_{0}n \to {}^{1}_{1}p + {}^{\;\,0}_{-1}e + {}^{0}_{0}\bar\nu_e$.

Por tanto, la reacción será:$${}^{24}_{11}\text{Na} \to {}^{24}_{12}\text{Mg} + {}^{\;\,0}_{-1}e + {}^{0}_{0}\bar\nu_e$$b)

0,75 p. Para encontrar la actividad al cabo de 10 h, necesitamos el coeficiente de desintegración $\lambda$, que obtenemos del tiempo de semidesintegración, que es el tiempo en que la actividad se reduce a la mitad:

$A(t) = \dfrac{A_0}{2} = A_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}$ y, por tanto, $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

Directamente obtenemos:$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{15} = 4{,}62\cdot 10^{-2}\ \text{h}^{-1}$$La actividad después de 10 horas:$$A = A_0\,e^{-\lambda t} = 5{,}80\cdot 10^{5}\,e^{-4{,}62\cdot 10^{-2}\cdot 10} = 3{,}65\cdot 10^{5}\ \text{Bq}$$0,5 p. Después de 10 h, el isótopo de sodio inyectado se ha disuelto en todo el volumen de sangre. Sabiendo que la actividad de $1{,}00\ \text{mL}$ son $60\ \text{Bq}$ y que la de todo el volumen de sangre es la actividad que acabamos de calcular, podemos calcular el volumen total de sangre, ya que la proporción será la misma:$$\frac{3{,}65\cdot 10^{5}\ \text{Bq}}{V_{total}} = \frac{60\ \text{Bq}}{1\ \text{mL}}$$Por tanto:$$V_{total} = \frac{3{,}65\cdot 10^{5}\ \text{Bq}\cdot 1\ \text{mL}}{60\ \text{Bq}}\cdot\frac{1\ \text{L}}{1000\ \text{mL}} = 6{,}09\ \text{L}$$