Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. Nos dicen que la flauta travesera es un tubo abierto por los dos extremos. Las longitudes resonantes serán: $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$ y, utilizando $\lambda\cdot f = v$, las frecuencias resonantes serán $f_n = n\,\dfrac{v}{2L} = n\,\dfrac{343}{2\cdot 0{,}67} = n\cdot 256\ \text{Hz}$. Por tanto, el primer armónico será $f_1 = 256\ \text{Hz}$.

0,25 p. Igualmente, para el tercer armónico: $f_3 = 3\cdot 256\ \text{Hz} = 768\ \text{Hz}$.

0,25 p. Tubo con los dos extremos abiertos: tiene los vientres en los extremos y la distancia entre vientres de la onda estacionaria es media longitud de onda, posición $x_V = n\,\dfrac{\lambda}{2}$. Los nodos, entre vientres, a media distancia, $x_N = (2n+1)\,\dfrac{\lambda}{4}$.

0,25 p. Para el primer armónico: $\dfrac{\lambda_1}{2} = 0{,}67\ \text{m}$; por tanto: primer vientre: $x_{V1} = 0$; segundo vientre: $x_{V2} = 0{,}67\ \text{m}$; nodo: $x_{N1} = 0{,}335\ \text{m}$.

0,25 p. Para el tercer armónico: $\dfrac{\lambda_3}{2} = 0{,}223\ \text{m}$; por tanto:

• Primer vientre: $x_{V1} = 0$
• Segundo vientre: $x_{V2} = 0{,}223\ \text{m}$
• Tercer vientre: $x_{V3} = 0{,}447\ \text{m}$
• Cuarto vientre: $x_{V4} = 0{,}67\ \text{m}$
• Primer nodo: $x_{N1} = 0{,}112\ \text{m}$
• Segundo nodo: $x_{N2} = 0{,}335\ \text{m}$
• Tercer nodo: $x_{N3} = 0{,}558\ \text{m}$

b)

0,4 p. En el caso extremo cerrado - extremo abierto, la longitud de onda de las ondas estacionarias cumple $\lambda_n = \dfrac{4L}{n}$ y sus frecuencias correspondientes son $f_n = \dfrac{v}{\lambda_n} = n\,\dfrac{v}{4L}$, con $n = 1, 3, 5$.

Por tanto, el primer modo de vibración corresponde a $n = 1$ y tiene longitud de onda: $\lambda_1 = \dfrac{4\cdot 0{,}67}{1} = 2{,}68\ \text{m}$ y frecuencia $f_{n1} = \dfrac{343}{2{,}68} = 128\ \text{Hz}$.

0,35 p. El segundo modo de vibración corresponde a $n = 3$ y tiene longitud de onda: $\lambda_3 = \dfrac{4\cdot 0{,}67}{3} = 0{,}893\ \text{m}$ y frecuencia $f_3 = \dfrac{343}{0{,}893} = 384\ \text{Hz}$.

0,25 p. Dibujo del primer modo de vibración, armónico fundamental.

0,25 p. Dibujo del segundo modo de vibración.