Radiactividad y desintegración

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

1,0 p. La reacción debe cumplir la conservación del número másico nuclear y, además, debe conservar la carga. Con estas premisas, la reacción de desintegración es la siguiente:$${}^{131}_{53}\text{I} \longrightarrow {}^{131}_{54}\text{Xe} + {}^{x}_{y}?$$Se cumple la conservación del número másico:$$131 = 131 + x \;\Rightarrow\; x = 0$$Y para la conservación de la carga:$$53 = 54 + y \;\Rightarrow\; y = -1$$Por tanto, la partícula que buscamos es un electrón (${}^{\;\,0}_{-1}e$). Además, para cumplir la conservación de la energía se emiten neutrinos, que, para conservar el número leptónico, deberían ser una antipartícula. Por tanto, será un antineutrino de la familia electrónica. La reacción completa es:$${}^{131}_{53}\text{I} \longrightarrow {}^{131}_{54}\text{Xe} + {}^{\;\,0}_{-1}e + \bar\nu_e$$Alternativamente, se puede escribir ${}^{\;\,0}_{-1}\beta$ o $e^-$ en lugar de ${}^{\;\,0}_{-1}e$.

Si no se indica el antineutrino, hay que restar 0,25 p.

No hace falta que el estudiante detalle las operaciones relacionadas con la conservación de la carga y del número másico. Son operaciones muy sencillas que se pueden hacer de cabeza; por tanto, solo hay que valorar si ha sido capaz de deducir correctamente los diferentes términos de la reacción.

0,25 p. Se trata de una desintegración $\beta^-$.

b)

0,5 p. La actividad es el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo:$$A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N$$Necesitamos el coeficiente de desintegración $\lambda$, que obtenemos del tiempo de semidesintegración:

$A(t) = \dfrac{A_0}{2} = A_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}$ y, por tanto, $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

Y $t_{1/2} = 8{,}02\ \text{días} = 6{,}93\cdot 10^{5}\ \text{s}$.

Directamente, obtenemos $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{\ln 2}{6{,}93\cdot 10^{5}\ \text{s}} = 1{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$.

Así, el número de núcleos es:$$N = \frac{A(t)}{\lambda} = \frac{40\cdot 10^{6}}{1{,}00\cdot 10^{-6}} = 4{,}00\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}$$Y la cantidad de I-131:$$m = 4{,}00\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}\cdot\frac{1\ \text{mol}}{6{,}022\times 10^{23}\ \text{núcleos}}\cdot\frac{131\ \text{g}}{1\ \text{mol}} = 8{,}70\cdot 10^{-9}\ \text{g}$$0,25 p. La actividad al cabo de una semana ($t = 7\ \text{días} = 6{,}05\cdot 10^{5}\ \text{s}$) es:$$A(t) = A_0\,e^{-\lambda t} = 40\cdot 10^{6}\,e^{-1{,}00\cdot 10^{-6}\cdot 6{,}05\cdot 10^{5}} = 2{,}18\cdot 10^{7}\ \text{Bq}$$0,5 p. Representación gráfica correctamente escalada, con títulos y unidades: