Campo y potencial eléctrico

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,5 p. Según la ley de Coulomb, el módulo de la fuerza sobre el electrón debida a la atracción del protón es:$$F_e = k\,\frac{e^2}{r^2}$$La segunda ley de Newton establece que $\vec F = m\vec a$.

Por otra parte, considerando que la trayectoria es circular, su aceleración es la aceleración centrípeta, $a = v^2/r$:$$k\,\frac{e^2}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r} \;\Rightarrow\; m\cdot v^2 = k\,\frac{e^2}{r}$$De la expresión anterior, podemos obtener la velocidad:$$v = e\sqrt{\frac{k}{m\cdot r}}$$0,25 p. El momento angular se expresa así:$$\vec L = m\,\vec r\times\vec v$$donde $\vec r$ es el vector de posición que apunta del protón al electrón. El módulo del momento angular se expresa así:$$L = m\,r\,v\sin\theta$$donde $\theta$ es el ángulo que forman $\vec r$ y $\vec v$. Como la órbita es circular, $\vec r$ y $\vec v$ son perpendiculares, $\theta = \pi/2$ y $\sin\theta = 1$.

Por tanto:$$L = m\cdot r\cdot v = m\cdot r\cdot e\sqrt{\frac{k}{m\cdot r}} = e\sqrt{k\cdot m\cdot r}$$0,25 p. Si utilizamos la expresión $L = \dfrac{n\cdot h}{2\pi}$:$$\frac{n\cdot h}{2\pi} = e\sqrt{k\cdot m\cdot r} \;\Rightarrow\; r = \frac{1}{k\cdot m}\left(\frac{n\cdot h}{2\pi\cdot e}\right)^2$$Alternativamente, se puede plantear $L = m\cdot r\cdot v = \dfrac{n\cdot h}{2\pi}$ y $v = e\sqrt{\dfrac{k}{m\cdot r}}$.

0,25 p. Y el radio para $n = 1$ es:$$r = \frac{1}{k\cdot m}\left(\frac{n\cdot h}{2\pi\cdot e}\right)^2 = \frac{1}{8{,}99\cdot 10^{9}\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}}\left(\frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{2\pi\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}}\right)^2 = 5{,}30\cdot 10^{-11}\ \text{m}$$b)

Del apartado anterior, tenemos:$$v = e\sqrt{\frac{k}{m\cdot r}} = 2{,}18\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$$Alternativamente: $L = e\sqrt{k\cdot m\cdot r} = 1{,}055\cdot 10^{-34}\ \text{kg}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}} \Rightarrow v = \dfrac{L}{m\cdot r} = 2{,}18\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$, o $L = \dfrac{h}{2\pi} = 1{,}055\cdot 10^{-34}\ \text{kg}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}} \Rightarrow v = \dfrac{L}{m\cdot r} = 2{,}18\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$.

0,5 p. Y la energía cinética es:$$E_c = \frac{1}{2}m\cdot v^2 = \frac{1}{2}\,9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot (2{,}18\cdot 10^{6})^2 = 2{,}18\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$0,5 p. La energía potencial se expresa así:$$E_p = -k\,\frac{e^2}{r} = -8{,}99\cdot 10^{9}\,\frac{(1{,}602\cdot 10^{-19})^2}{5{,}3\cdot 10^{-11}} = -4{,}35\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$0,25 p. Y la energía mecánica:$$E_m = E_c + E_p = 2{,}18\cdot 10^{-18} - 4{,}35\cdot 10^{-18} = -2{,}18\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$