Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,5 p. La energía potencial gravitatoria se expresa así:$$E_P = -G\,\frac{m M_M}{r} \;\Rightarrow\; r = -G\,\frac{m M_M}{E_P}$$Y, si sustituimos por los valores de la tabla, tenemos:0,5 p. Según la ley de la gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre la BepiColombo debida a la atracción de Mercurio es:$$F = G\,\frac{m M_M}{r^2}$$Y la relación entre la fuerza y la intensidad del campo gravitatorio es:$$F = m g$$Por tanto, la intensidad del campo gravitatorio es:$$g = G\,\frac{M_M}{r^2} \;\Rightarrow\; r = \sqrt{G\,\frac{M_M}{g}} = \sqrt{6{,}67\cdot 10^{-11}\,\frac{3{,}285\cdot 10^{23}}{3{,}23}} = 2{,}60\cdot 10^{6}\ \text{m}$$0,25 p. Y la altura sobre la superficie es:$$h = r - R_M = 2{,}60\cdot 10^{6} - 2{,}44\cdot 10^{6} = 1{,}64\cdot 10^{5}\ \text{m} = 164\ \text{km}$$b)

0,75 p. Las distancias al punto más próximo (periastro) y al más alejado (apoastro) se pueden calcular directamente a partir de las alturas:$$r_A = (11\,600 + 2{,}44\cdot 10^{3})\cdot 10^{3} = 1{,}404\cdot 10^{7}\ \text{m}$$$$r_P = (590 + 2{,}44\cdot 10^{3})\cdot 10^{3} = 3{,}03\cdot 10^{6}\ \text{m}$$El momento angular se expresa así:$$\vec L = m\,\vec r\times\vec v$$donde $\vec r$ es el vector de posición que apunta del centro de Mercurio a Mio y $\vec v$ es la velocidad de Mio. El módulo del momento angular se expresa así:$$L = m\,r\,v\sin\theta$$donde $\theta$ es el ángulo que forman $\vec r$ y $\vec v$. Como en el periastro y en el apoastro $\vec r$ y $\vec v$ son perpendiculares: $\theta = \pi/2$ y $\sin\theta = 1$.

Por tanto, si imponemos la conservación del momento angular entre el periastro y el apoastro, tenemos:$$m\,r_P\,v_P = m\,r_A\,v_A \;\Rightarrow\; v_P = v_A\,\frac{r_A}{r_P} = 2{,}64\cdot 10^{3}\,\frac{1{,}404\cdot 10^{7}}{3{,}03\cdot 10^{6}} = 1{,}22\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$$0,5 p. El módulo de la aceleración normal es: $a = \dfrac{v^2}{r}$.

En una órbita elíptica, como el módulo de la velocidad cambia en los diferentes puntos de la órbita, y también varía la distancia entre la órbita y el planeta, también cambiará el valor de la aceleración normal.

A partir del principio de conservación del momento angular, hemos visto que la velocidad del satélite será máxima en el punto más próximo al planeta (punto $P$). Este punto también corresponde a la distancia mínima entre el satélite y el planeta. Como la aceleración normal es $a = \dfrac{v^2}{r}$, en el punto $P$, $v$ es máxima y $r$ es mínima; entonces la aceleración normal tomará su valor máximo.