Efecto fotoeléctrico y cuantización

a) Verdadera. La ley de desintegración es $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, así que el cociente entre dos instantes vale$$\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = \frac{N_0 e^{-\lambda t_2}}{N_0 e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda (t_2 - t_1)}$$Solo depende del intervalo $t_2 - t_1$, no de los instantes concretos. Si ese intervalo es $2\,T_{1/2}$, y usando $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$:$$\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\cdot 2T_{1/2}} = e^{-2\ln 2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$La afirmación es correcta: cada periodo de semidesintegración divide entre dos, y dos periodos dividen entre cuatro, sea cual sea el punto de partida.

b1) i) Frecuencia umbral a partir del trabajo de extracción:$$W_0 = h f_0 \quad\Longrightarrow\quad f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{5\cdot 10^{-18}}{6{,}63\cdot 10^{-34}}$$$$f_0 = 7{,}54\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$ii) Energía cinética máxima a partir del potencial de frenado:$$E_{c,\text{máx}} = e\,V_f = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4{,}5 = 7{,}2\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$Velocidad máxima:$$v = \sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 7{,}2\cdot 10^{-19}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 1{,}26\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$iii) Energía del fotón incidente (ecuación de Einstein):$$E = W_0 + E_{c,\text{máx}} = 5\cdot 10^{-18} + 7{,}2\cdot 10^{-19} = 5{,}72\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$$$f = \frac{E}{h} = \frac{5{,}72\cdot 10^{-18}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 8{,}63\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{8{,}63\cdot 10^{15}} = 3{,}48\cdot 10^{-8}\ \text{m} = 34{,}8\ \text{nm}$$Es ultravioleta lejano, coherente con un trabajo de extracción tan alto ($31\,\text{eV}$).

b2) i) El $^{226}_{88}\text{Ra}$ tiene $Z = 88$ protones y $N = 226 - 88 = 138$ neutrones. Defecto de masa:$$\Delta m = 88\,m_p + 138\,m_n - m(^{226}_{88}\text{Ra})$$$$\Delta m = 88\cdot 1{,}007276 + 138\cdot 1{,}008665 - 226{,}025410$$$$\Delta m = 88{,}640288 + 139{,}195770 - 226{,}025410 = 1{,}810648\ \text{u}$$Energía de enlace:$$E_e = \Delta m\,c^2 = 1{,}810648\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 2{,}71\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$En MeV:$$E_e = \frac{2{,}71\cdot 10^{-10}}{1{,}6\cdot 10^{-13}} = 1{,}69\cdot 10^{3}\ \text{MeV} = 1691\ \text{MeV}$$ii) Energía de enlace por nucleón:$$\frac{E_e}{A} = \frac{1691}{226} = 7{,}48\ \text{MeV/nucleón}$$Frente a los $\approx 9\,\text{MeV/nucleón}$ del $^{60}_{28}\text{Ni}$, es claramente menor. El níquel-60 es más estable, lo que concuerda con la curva de energía de enlace por nucleón, cuyo máximo está en torno a $A \approx 56$-$60$; los núcleos muy pesados como el radio quedan en la rama descendente y por eso son radiactivos.