FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

Andalucía · 2024 · Reserva 1 · Opción A
Enunciado
a) Un haz luminoso produce la emisión de fotoelectrones en un metal. Explique cómo se modifica el número de fotoelectrones y su energía cinética si: i) aumenta la intensidad del haz luminoso; ii) aumenta la frecuencia de la luz incidente.

b) Para observar el efecto fotoeléctrico sobre un metal, que posee una función de trabajo de 3,36⋅10−19 J3{,}36\cdot 10^{-19}\,\text{J}, se utiliza una lámpara de Cd que emite en cuatro líneas espectrales de distinta longitud de onda: roja a 6,438⋅10−7 m6{,}438\cdot 10^{-7}\,\text{m}; verde a 5,382⋅10−7 m5{,}382\cdot 10^{-7}\,\text{m}; azul a 4,800⋅10−7 m4{,}800\cdot 10^{-7}\,\text{m} y violeta a 3,729⋅10−7 m3{,}729\cdot 10^{-7}\,\text{m}. Determine razonadamente: i) ¿Qué líneas espectrales provocarán efecto fotoeléctrico en dicho material? ii) ¿Qué energía cinética máxima y potencial de frenado tendrán los fotoelectrones si se utiliza la línea espectral azul?

Datos: h=6,63⋅10−34 J sh = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}; c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}.
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Resultado
  i) Maˊs electrones, misma Ecii) Misma o menor cantidad, pero mayor Ec  \boxed{\;\text{i) Más electrones, misma } E_c \qquad \text{ii) Misma o menor cantidad, pero mayor } E_c\;}  λ0=592 nm ⇒ verde, azul y violeta sıˊ; roja no  \boxed{\;\lambda_0 = 592\ \text{nm}\ \Rightarrow\ \text{verde, azul y violeta sí; roja no}\;}  Ec,maˊx=7,84⋅10−20 JVf=0,49 V  \boxed{\;E_{c,\text{máx}} = 7{,}84\cdot 10^{-20}\ \text{J}\qquad V_f = 0{,}49\ \text{V}\;}
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Estrategia

En b) i) hay un atajo que ahorra cuatro cálculos: en vez de comparar energías línea por línea, se calcula una sola vez la longitud de onda umbral λ0=hc/W0\lambda_0 = hc/W_0 y se compara con las cuatro longitudes de onda. Producirán efecto fotoeléctrico las que tengan λ<λ0\lambda < \lambda_0 (más energía por fotón).

Cuidado con la desigualdad: es al revés que con las frecuencias. Longitud de onda menor significa frecuencia mayor.
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Desarrollo

a) i) Aumenta la intensidad. La intensidad mide la energía que llega por unidad de tiempo y superficie; a frecuencia fija, eso equivale a más fotones por segundo. Como cada fotón arranca (a lo sumo) un electrón:
  • El número de fotoelectrones aumenta proporcionalmente (aumenta la corriente fotoeléctrica).
  • La energía cinética máxima no cambia, porque cada fotón sigue trayendo la misma energía hfhf y Ec,maˊx=hf−W0E_{c,\text{máx}} = hf - W_0 no depende de la intensidad.
a) ii) Aumenta la frecuencia. Ahora cada fotón es más energético:
  • La energía cinética máxima aumenta, según Ec,maˊx=hf−W0E_{c,\text{máx}} = hf - W_0: crece linealmente con ff.
  • El número de fotoelectrones no aumenta. Si se mantiene la misma intensidad, el número de fotones por segundo es ∝I/(hf)\propto I/(hf), así que al subir ff llegan menos fotones y se emiten menos electrones (aunque más rápidos).
Es la separación clave del efecto fotoeléctrico: la frecuencia gobierna la energía de cada electrón y la intensidad gobierna cuántos hay.

b) i) El efecto fotoeléctrico se produce si la energía del fotón supera el trabajo de extracción, hf>W0hf > W_0, lo que en términos de longitud de onda equivale a λ<λ0\lambda < \lambda_0, siendoλ0=h cW0=6,63⋅10−34⋅3⋅1083,36⋅10−19=5,92⋅10−7 m=592 nm\lambda_0 = \frac{h\,c}{W_0} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{3{,}36\cdot 10^{-19}} = 5{,}92\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 592\ \text{nm}Comparando cada línea con este umbral:
  • Roja, λ=6,438⋅10−7 m=644 nm>592 nm\lambda = 6{,}438\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 644\,\text{nm} > 592\,\text{nm} → no hay emisión.
  • Verde, λ=5,382⋅10−7 m=538 nm<592 nm\lambda = 5{,}382\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 538\,\text{nm} < 592\,\text{nm} → sí.
  • Azul, λ=4,800⋅10−7 m=480 nm<592 nm\lambda = 4{,}800\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 480\,\text{nm} < 592\,\text{nm} → sí.
  • Violeta, λ=3,729⋅10−7 m=373 nm<592 nm\lambda = 3{,}729\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 373\,\text{nm} < 592\,\text{nm} → sí.
Provocan efecto fotoeléctrico las líneas verde, azul y violeta; la roja no, por intensa que sea la lámpara.

b) ii) Para la línea azul (λ=4,800⋅10−7 m\lambda = 4{,}800\cdot 10^{-7}\,\text{m}), la energía del fotón esE=h cλ=6,63⋅10−34⋅3⋅1084,800⋅10−7=4,14⋅10−19 JE = \frac{h\,c}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{4{,}800\cdot 10^{-7}} = 4{,}14\cdot 10^{-19}\ \text{J}Energía cinética máxima (ecuación de Einstein):Ec,maˊx=E−W0=4,14⋅10−19−3,36⋅10−19=7,84⋅10−20 JE_{c,\text{máx}} = E - W_0 = 4{,}14\cdot 10^{-19} - 3{,}36\cdot 10^{-19} = 7{,}84\cdot 10^{-20}\ \text{J}Potencial de frenado, el que detiene incluso a los electrones más rápidos:e Vf=Ec,maˊx⟹Vf=7,84⋅10−201,6⋅10−19e\,V_f = E_{c,\text{máx}} \quad\Longrightarrow\quad V_f = \frac{7{,}84\cdot 10^{-20}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}Vf=0,49 VV_f = 0{,}49\ \text{V}
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Consejo

Calcula el umbral una sola vez (λ0=hc/W0\lambda_0 = hc/W_0) y compara: es mucho más rápido y más seguro que hacer cuatro balances energéticos. Pero ojo con el sentido de la desigualdad: hay emisión cuando λ<λ0\lambda < \lambda_0, no al revés.

Y en a) ii) no digas que "aumenta el número de electrones": lo que aumenta es su energía. Con la misma intensidad, subir la frecuencia hace que lleguen menos fotones.
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