FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre · Radiactividad y desintegración
Andalucía · 2025 · Reserva 3
Enunciado
a) Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) (0,5 puntos) cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula alfa, se obtiene un núcleo cuyo número másico es dos unidades menor y su número atómico es cuatro unidades menor; ii) (0,5 puntos) cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula beta negativa, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad mayor y no varía su número másico.

b1) Se comprueba experimentalmente que una célula fotoeléctrica comienza a emitir electrones cuando sobre ella incide radiación de longitud de onda 2×10−7 m2\times 10^{-7}\,\text{m}. Posteriormente, se ilumina la superficie de la célula con luz de frecuencia 4,5×1015 Hz4{,}5\times 10^{15}\,\text{Hz}. i) (0,75 puntos) Calcule el trabajo de extracción de la célula y la frecuencia umbral; ii) (0,75 puntos) calcule la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos y su velocidad.

Datos: h=6,63×10−34 J sh = 6{,}63\times 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}; me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times 10^{-31}\,\text{kg}; c=3×108 m s−1c = 3\times 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.

b2) Un electrón, inicialmente en reposo, es acelerado al aplicar una diferencia de potencial de 4 kV4\,\text{kV}. i) (0,75 puntos) Calcule razonadamente su energía cinética, su momento lineal y su longitud de onda de De Broglie. ii) (0,75 puntos) Posteriormente se aceleran protones, inicialmente en reposo, utilizando la misma diferencia de potencial. Determine la longitud de onda asociada a los protones.

Datos: h=6,63×10−34 J sh = 6{,}63\times 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}; e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times 10^{-19}\,\text{C}; me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times 10^{-31}\,\text{kg}; mp=1,7×10−27 kgm_p = 1{,}7\times 10^{-27}\,\text{kg}.
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Resultado
  i) Falsa (A baja 4 y Z baja 2)ii) Verdadera  \boxed{\;\text{i) Falsa (}A\text{ baja 4 y }Z\text{ baja 2)}\qquad \text{ii) Verdadera}\;}  W0=9,95⋅10−19 Jf0=1,5⋅1015 HzEc,maˊx=1,99⋅10−18 Jv=2,09⋅106 m s−1  \boxed{\;W_0 = 9{,}95\cdot 10^{-19}\ \text{J}\quad f_0 = 1{,}5\cdot 10^{15}\ \text{Hz}\quad E_{c,\text{máx}} = 1{,}99\cdot 10^{-18}\ \text{J}\quad v = 2{,}09\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}  λe=1,94⋅10−11 mλp=4,49⋅10−13 m  \boxed{\;\lambda_e = 1{,}94\cdot 10^{-11}\ \text{m}\qquad \lambda_p = 4{,}49\cdot 10^{-13}\ \text{m}\;}
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Estrategia

En a) hay que recordar cómo cambian AA y ZZ en cada tipo de desintegración. En la α\alpha se emite un núcleo de helio (AA baja 44, ZZ baja 22); en la β−\beta^- un neutrón se convierte en protón (AA no cambia, ZZ sube 11).

En b1) "comienza a emitir electrones cuando incide radiación de λ=2⋅10−7 m\lambda = 2\cdot 10^{-7}\,\text{m}" es la forma de darnos la longitud de onda umbral.

En b2) el electrón se acelera con una diferencia de potencial: eV=EceV = E_c, y de ahí el momento lineal y la longitud de onda de De Broglie. Con el protón se repite con otra masa.
2

Desarrollo

a) i) Falsa. En la emisión α\alpha el núcleo expulsa un 24He^{4}_{2}\text{He}:ZAX  ⟶  Z−2A−4Y+ 24He^{A}_{Z}X \;\longrightarrow\; ^{A-4}_{Z-2}Y + \,^{4}_{2}\text{He}El número másico disminuye en cuatro unidades y el atómico en dos. El enunciado los ha intercambiado.

ii) Verdadera. En la emisión β−\beta^- un neutrón del núcleo se transforma en protón, emitiendo un electrón y un antineutrino:01n  ⟶  11p+ −10e+νˉe⟹ZAX  ⟶  Z+1AY+ −10e+νˉe^{1}_{0}\text{n} \;\longrightarrow\; ^{1}_{1}\text{p} + \,^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e \qquad\Longrightarrow\qquad ^{A}_{Z}X \;\longrightarrow\; ^{A}_{Z+1}Y + \,^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_eEl número total de nucleones no cambia (AA constante) y el número atómico aumenta en una unidad. Exactamente lo que dice el enunciado.

b1) i) Que la célula "comience a emitir" con λ0=2⋅10−7 m\lambda_0 = 2\cdot 10^{-7}\,\text{m} significa que esa es la longitud de onda umbral:W0=hcλ0=6,63⋅10−34⋅3⋅1082⋅10−7=9,95⋅10−19 JW_0 = \frac{h c}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{2\cdot 10^{-7}} = 9{,}95\cdot 10^{-19}\ \text{J}Frecuencia umbral:f0=W0h=9,95⋅10−196,63⋅10−34=1,5⋅1015 Hzf_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{9{,}95\cdot 10^{-19}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 1{,}5\cdot 10^{15}\ \text{Hz}(también directamente, f0=c/λ0=1,5⋅1015 Hzf_0 = c/\lambda_0 = 1{,}5\cdot 10^{15}\,\text{Hz}).

ii) Ahora se ilumina con f=4,5⋅1015 Hzf = 4{,}5\cdot 10^{15}\,\text{Hz}, tres veces la umbral:E=hf=6,63⋅10−34⋅4,5⋅1015=2,98⋅10−18 JE = h f = 6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 4{,}5\cdot 10^{15} = 2{,}98\cdot 10^{-18}\ \text{J}Ecuación de Einstein:Ec,maˊx=E−W0=2,98⋅10−18−9,95⋅10−19=1,99⋅10−18 JE_{c,\text{máx}} = E - W_0 = 2{,}98\cdot 10^{-18} - 9{,}95\cdot 10^{-19} = 1{,}99\cdot 10^{-18}\ \text{J}Velocidad de los fotoelectrones:v=2Ec,maˊxme=2⋅1,99⋅10−189,1⋅10−31=2,09⋅106 m s−1v = \sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}99\cdot 10^{-18}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 2{,}09\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
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b2) i) El electrón se acelera desde el reposo con ΔV=4 kV\Delta V = 4\,\text{kV}:Ec=e ΔV=1,6⋅10−19⋅4000=6,4⋅10−16 JE_c = e\,\Delta V = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4000 = 6{,}4\cdot 10^{-16}\ \text{J}Momento lineal:p=2meEc=2⋅9,1⋅10−31⋅6,4⋅10−16=3,41⋅10−23 kg m s−1p = \sqrt{2 m_e E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 6{,}4\cdot 10^{-16}} = 3{,}41\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}Longitud de onda de De Broglie:λe=hp=6,63⋅10−343,41⋅10−23=1,94⋅10−11 m\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}41\cdot 10^{-23}} = 1{,}94\cdot 10^{-11}\ \text{m}ii) Con la misma diferencia de potencial, la energía cinética del protón es la misma (6,4⋅10−16 J6{,}4\cdot 10^{-16}\,\text{J}, porque su carga tiene el mismo valor absoluto), pero su masa es mucho mayor:pp=2mpEc=2⋅1,7⋅10−27⋅6,4⋅10−16=1,48⋅10−21 kg m s−1p_p = \sqrt{2 m_p E_c} = \sqrt{2\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 6{,}4\cdot 10^{-16}} = 1{,}48\cdot 10^{-21}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}λp=6,63⋅10−341,48⋅10−21=4,49⋅10−13 m\lambda_p = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}48\cdot 10^{-21}} = 4{,}49\cdot 10^{-13}\ \text{m}Unas 4343 veces menor que la del electrón, que es mp/me≈1868≈43\sqrt{m_p/m_e} \approx \sqrt{1868} \approx 43.
3

Consejo

En b2), la energía cinética es la misma para el electrón y el protón (misma carga, mismo ΔV\Delta V): lo que cambia es la masa y, con ella, el momento lineal. No recalcules EcE_c.

Y el atajo útil: con la misma ΔV\Delta V, λ∝1/m\lambda \propto 1/\sqrt{m}. Sirve para comprobar de un vistazo que el cociente de longitudes de onda es mp/me\sqrt{m_p/m_e}.
Paso 1 de 3
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