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Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Los muones son partículas elementales, con carga eléctrica negativa, que se forman en las partes altas de la atmósfera y se mueven a velocidades relativistas hacia la superficie de la Tierra. Un muon se forma a

9000\,\text{m}

de altura sobre la superficie de la Tierra y desciende verticalmente con una velocidad

v = 0{,}9978\,c

. Calcula razonadamente:

a) La energía en reposo y la energía total del muon en electronvoltios. (1 punto)

b) El intervalo de tiempo que tarda dicho muon en alcanzar la superficie, medido en un sistema de referencia ligado a la Tierra y medido en un sistema de referencia que viaje con el muon. (1 punto)

Datos: velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}

; masa (en reposo) del muon,

m = 1{,}8\cdot10^{-28}\,\text{kg}

; carga elemental,

q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

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Resultado

\gamma = 15{,}08

. Energía en reposo

E_0 = mc^2 = 1{,}01\cdot10^{8}\,\text{eV}

(101 MeV); energía total

E = \gamma mc^2 = 1{,}53\cdot10^{9}\,\text{eV}

.

b) Desde la Tierra,

\Delta t = L/v = 3{,}01\cdot10^{-5}\,\text{s}

; para el muon (tiempo propio),

\Delta t_0 = \Delta t/\gamma = 1{,}99\cdot10^{-6}\,\text{s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

A esa velocidad hay que usar la relatividad especial, y todo gira en torno al factor de Lorentz

\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}

. La energía en reposo es

mc^2

y la total,

\gamma

veces mayor. Para pasar de julios a electronvoltios se divide por la carga elemental. En b), desde la Tierra el muon recorre

9000\,\text{m}

a velocidad

v

; el muon mide su tiempo propio, que es

\gamma

veces más corto (dilatación del tiempo).

Desarrollo

Factor de Lorentz. Con

\beta = v/c = 0{,}9978

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}9978^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}004395}} = \frac{1}{0{,}06630} = 15{,}08

a) Energía en reposo.

E_0 = mc^2 = 1{,}8\cdot10^{-28}\cdot(3\cdot10^8)^2 = 1{,}62\cdot10^{-11}\,\text{J}

Como

1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{J}

E_0 = \frac{1{,}62\cdot10^{-11}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}01\cdot10^{8}\,\text{eV} \approx 101\,\text{MeV}

Energía total.

E = \gamma\,mc^2 = 15{,}08\cdot1{,}62\cdot10^{-11} = 2{,}44\cdot10^{-10}\,\text{J}

E = \frac{2{,}44\cdot10^{-10}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}53\cdot10^{9}\,\text{eV} \approx 1{,}53\,\text{GeV}

La energía cinética del muon es la diferencia,

E - E_0 \approx 1{,}43\cdot10^9\,\text{eV}

: unas 14 veces su energía en reposo.

b) Tiempo medido desde la Tierra. En el sistema de la Tierra el muon recorre

L = 9000\,\text{m}

con velocidad constante

v

\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{9000}{0{,}9978\cdot3\cdot10^8} = 3{,}01\cdot10^{-5}\,\text{s} \approx 30{,}1\,\mu\text{s}

Tiempo medido por el muon. En su propio sistema, la formación y la llegada al suelo ocurren en el mismo sitio (el muon): es el tiempo propio

\Delta t_0

. Por la dilatación del tiempo,

\Delta t = \gamma\,\Delta t_0

\Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{3{,}01\cdot10^{-5}}{15{,}08} = 1{,}99\cdot10^{-6}\,\text{s} \approx 2{,}0\,\mu\text{s}

Interpretación. El muon «envejece» solo unos

2\,\mu\text{s}

, del orden de su vida media (

2{,}2\,\mu\text{s}

): por eso llegan muchos muones a la superficie, aunque sin relatividad tardarían unas 14 vidas medias. Visto desde el muon, es la atmósfera la que se contrae: la distancia es

L/\gamma \approx 597\,\text{m}

, que a velocidad

v

se recorre en el mismo

\Delta t_0

Consejo

Calcula $\gamma$ con todos los decimales que dé la calculadora: con $v$ tan cerca de $c$ , redondear $\beta^2$ antes de restar cambia mucho el resultado.

Di cuál es el tiempo propio y por qué (los dos sucesos ocurren donde está el muon). Es el que sale más corto; si te sale al revés, has multiplicado por $\gamma$ en lugar de dividir.