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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Una ballena azul emite un sonido de frecuencia

25\,\text{Hz}

por agua de mar. Se considera que es una onda armónica y unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje

X

a una velocidad de

1500\,\text{m/s}

. En

t = 0\,\text{s}

x = 0\,\text{m}

la función de onda se encuentra en un máximo, de valor

32\,\mu\text{m}

. Determina:

a) La longitud de onda y la fase inicial. Escribe la función de onda en unidades del Sistema Internacional. Utiliza la función seno para resolver el problema. (1 punto)

b) El valor de la función de onda y la velocidad de vibración de una partícula del medio situada en

x = 300\,\text{m}

para el instante

t = 1\,\text{s}

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda = 60\,\text{m}

;

\varphi_0 = \pi/2\,\text{rad}

;

y(x,t) = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{sen}(50\pi t - \pi x/30 + \pi/2)

en unidades del SI.

b) En

x = 300\,\text{m}

t = 1\,\text{s}

y = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{m}

(máximo) y velocidad de vibración

v_y = 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una onda armónica que avanza hacia

+X

se escribe

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

. La amplitud es el valor máximo,

32\,\mu\text{m}

; con la frecuencia y la velocidad salen

\lambda

\omega

k

; y la condición «máximo en

t = 0

x = 0

» fija la fase inicial. En b) sustituimos en la función de onda y en su derivada respecto del tiempo, que es la velocidad de vibración (no la de propagación).

Desarrollo

a) Longitud de onda. De

v = \lambda f

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1500}{25} = 60\,\text{m}

Frecuencia angular y número de onda.

\omega = 2\pi f = 50\pi\,\text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\,\text{rad/m}

Amplitud. El máximo de la función de onda es la amplitud:

A = 32\,\mu\text{m} = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{m}

.

Fase inicial. Para una onda que se propaga en el sentido positivo del eje

X

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

t = 0

x = 0

la elongación es máxima,

y = A

A\,\text{sen}\,\varphi_0 = A\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}

Función de onda (SI).

y(x,t) = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{sen}\left(50\pi t - \frac{\pi}{30}x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}

b) Fase en $x = 300\,\text{m}$ , $t = 1\,\text{s}$ .

\phi = 50\pi\cdot1 - \frac{\pi}{30}\cdot300 + \frac{\pi}{2} = 50\pi - 10\pi + \frac{\pi}{2} = 40\pi + \frac{\pi}{2}\,\text{rad}

Como

40\pi

son 20 vueltas completas, equivale a una fase de

\pi/2

.

Valor de la función de onda.

y = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{sen}\left(40\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{m} = 32\,\mu\text{m}

La partícula está en su máximo. Tiene sentido:

x = 300\,\text{m}

son exactamente 5 longitudes de onda y

t = 1\,\text{s}

son 25 periodos, así que esa partícula está igual que la del origen en

t = 0

.

Velocidad de vibración. Derivando respecto del tiempo:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

v_y = 3{,}2\cdot10^{-5}\cdot 50\pi\,\cos\left(40\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 0\,\text{m/s}

En un extremo de su oscilación la partícula está momentáneamente parada. (Su velocidad máxima sería

A\omega = 5{,}0\cdot10^{-3}\,\text{m/s}

Consejo

Calcula la fase con la calculadora en radianes, o mejor, simplifica primero: $40\pi + \pi/2$ se reduce a $\pi/2$ sin calculadora y evita errores de redondeo.

No confundas la velocidad de vibración ( $\partial y/\partial t$ , de la partícula) con la de propagación ( $1500\,\text{m/s}$ , de la onda). Y el signo « $-kx$ » va con la propagación hacia $+X$ .