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Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Dos cargas puntuales,

q_1 = 4\,\mu\text{C}

q_2 = -2\,\mu\text{C}

, se encuentran ubicadas en las coordenadas

(0,0)\,\text{m}

(1,0)\,\text{m}

respectivamente.

a) Calcula razonadamente el vector campo eléctrico total en el punto

(1,\,1)\,\text{m}

. Representa gráficamente en dicho punto los vectores campo eléctrico involucrados. (1 punto)

b) Razona por qué el campo total sobre puntos del eje

X

sólo se puede anular cuando

x > 1\,\text{m}

. Calcula razonadamente el punto en que dicho campo se anula. (1 punto)

Datos: constante de Coulomb,

k = 9\cdot 10^{9}\,\text{N m}^2\,\text{C}^{-2}

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Resultado

\vec E_1 = 1{,}27\cdot10^4(\vec\imath+\vec\jmath)\,\text{N/C}

\vec E_2 = -1{,}8\cdot10^4\,\vec\jmath\,\text{N/C}

; total

\vec E = 1{,}27\cdot10^4\,\vec\imath - 5{,}27\cdot10^3\,\vec\jmath\ \text{N/C}

(

E = 1{,}38\cdot10^4\,\text{N/C}

).

b) Solo para

x > 1

los campos son opuestos y el punto está más cerca de la carga menor. Se anula en

x = 2+\sqrt2 = 3{,}41\,\text{m}

, el punto

(3{,}41,\ 0)\,\text{m}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo total es la suma vectorial de los campos de cada carga (principio de superposición). El de

q_1

, positiva, apunta alejándose de ella; el de

q_2

, negativa, apunta hacia ella. En a) basta con calcular cada uno con su vector unitario y sumar componentes. En b) miramos el eje

X

por zonas: para que dos campos se anulen tienen que ir en sentidos opuestos y tener el mismo módulo, y eso solo es posible fuera del segmento y más cerca de la carga de menor valor absoluto.

Desarrollo

a) Campo de una carga puntual. El campo que crea una carga

q

en un punto a distancia

r

\vec E = k\,\frac{q}{r^2}\,\vec u_r

donde

\vec u_r

es el vector unitario que va de la carga al punto. Llamamos

P = (1,1)\,\text{m}

.

Campo de $q_1$ . De

(0,0)

P

\vec r_1 = \vec\imath + \vec\jmath

r_1 = \sqrt2\,\text{m}

\vec u_1 = \dfrac{\vec\imath+\vec\jmath}{\sqrt2}

E_1 = k\,\frac{q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot10^9\cdot4\cdot10^{-6}}{2} = 1{,}8\cdot10^{4}\,\text{N/C}

\vec E_1 = 1{,}8\cdot10^4\,\frac{\vec\imath+\vec\jmath}{\sqrt2} = 1{,}27\cdot10^4\,\vec\imath + 1{,}27\cdot10^4\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

Campo de $q_2$ . De

(1,0)

P

\vec r_2 = \vec\jmath

r_2 = 1\,\text{m}

\vec u_2 = \vec\jmath

\vec E_2 = k\,\frac{q_2}{r_2^2}\,\vec u_2 = \frac{9\cdot10^9\cdot(-2\cdot10^{-6})}{1}\,\vec\jmath = -1{,}8\cdot10^4\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

Apunta hacia abajo, hacia

q_2

, como corresponde a una carga negativa.

Campo total.

\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = 1{,}27\cdot10^4\,\vec\imath + (1{,}27\cdot10^4 - 1{,}8\cdot10^4)\,\vec\jmath = 1{,}27\cdot10^4\,\vec\imath - 5{,}27\cdot10^3\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

Su módulo es

E = \sqrt{(1{,}27\cdot10^4)^2 + (5{,}27\cdot10^3)^2} = 1{,}38\cdot10^4\,\text{N/C}

, y forma

22{,}5^\circ

por debajo de la horizontal.

Representación. En

P

\vec E_1

45^\circ

, hacia arriba y a la derecha (alejándose del origen);

\vec E_2

vertical hacia abajo, hacia

(1,0)

, de la misma longitud que

\vec E_1

(los dos miden

1{,}8\cdot10^4\,\text{N/C}

); y la resultante

\vec E

, la diagonal del paralelogramo, hacia la derecha y un poco hacia abajo.

q1 = 4 µC en el origen y q2 = −2 µC en (1, 0). En el punto (1, 1), el campo de q1 apunta a 45 grados hacia arriba a la derecha, alejándose del origen, y el de q2 vertical hacia abajo, hacia q2, de la misma longitud; el total apunta hacia la derecha y algo hacia abajo

b) Sentido de cada campo sobre el eje $X$ . El campo de

q_1

apunta alejándose del origen y el de

q_2

, hacia

x = 1

. Lo vemos por zonas:

Entre las cargas ( $0 < x < 1$ ): $\vec E_1$ apunta a $+\vec\imath$ (se aleja de $q_1$ ) y $\vec E_2$ también a $+\vec\imath$ (va hacia $q_2$ ). Se suman: no se pueden anular.
A la izquierda ( $x < 0$ ): $\vec E_1$ apunta a $-\vec\imath$ y $\vec E_2$ a $+\vec\imath$ , opuestos. Pero cualquier punto está más cerca de $q_1$ , que además tiene mayor valor absoluto ( $4\,\mu\text{C}$ frente a $2\,\mu\text{C}$ ): siempre $E_1 > E_2$ y no se anulan.
A la derecha ( $x > 1$ ): $\vec E_1$ apunta a $+\vec\imath$ y $\vec E_2$ a $-\vec\imath$ , opuestos, y ahora el punto está más cerca de la carga pequeña. Los módulos pueden igualarse: solo aquí puede anularse el campo.

Punto de campo nulo. Para

x > 1

, igualamos módulos:

k\,\frac{|q_1|}{x^2} = k\,\frac{|q_2|}{(x-1)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{x^2} = \frac{2}{(x-1)^2}\quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2\,(x-1)^2

Tomando la raíz positiva (con

x > 1

, tanto

x

como

x - 1

son positivos):

x = \sqrt2\,(x-1)\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\sqrt2}{\sqrt2-1} = 2+\sqrt2 = 3{,}41\,\text{m}

La otra raíz,

x = 2-\sqrt2 = 0{,}59\,\text{m}

, cae entre las cargas, donde los campos tienen el mismo sentido: no anula el campo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dibuja siempre los dos vectores en el punto antes de sumar: la representación vale 0,3 puntos y te avisa de errores de signo (el de la carga negativa apunta hacia ella).

En b) no basta con resolver la ecuación: el razonamiento por zonas vale la mitad del apartado. Y si te sale la raíz $0{,}59\,\text{m}$ , descártala explicando que ahí los campos se suman.