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Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Un satélite artificial se encuentra a una altura de

500\,\text{km}

sobre la superficie de un planeta. El campo gravitatorio en la superficie del planeta es de

8\,\text{m/s}^2

, ¿cuál es la aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra el satélite artificial? ¿A qué altura sobre la superficie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en su superficie?

Dato: radio del planeta,

R = 5000\,\text{km}

. Utiliza exclusivamente los datos aportados en el enunciado.

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Resultado

A la altura del satélite: $g = g_0R^2/(R+h)^2 = 6{,}61\,\text{m/s}^2$ .
La gravedad se reduce a la mitad a una altura $h = (\sqrt{2}-1)R \approx 2071\,\text{km}$ sobre la superficie.

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Estrategia

No conocemos ni

G

ni la masa del planeta, y el enunciado pide no usar otros datos. No hacen falta: el campo gravitatorio va como

1/r^2

, así que basta con comparar el valor a una distancia

r

del centro con el de la superficie. El producto

GM

se elimina al dividir.

Desarrollo

Campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro. Para un planeta esférico de masa

M

, a una distancia

r \geq R

de su centro:

g(r) = \frac{GM}{r^2}

En la superficie,

g_0 = \dfrac{GM}{R^2}

. Dividiendo una entre otra desaparece

GM

\frac{g(r)}{g_0} = \frac{R^2}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad g(h) = g_0\,\frac{R^2}{(R+h)^2}

Gravedad a la altura del satélite. Con

R = 5000\,\text{km}

h = 500\,\text{km}

r = R + h = 5500\,\text{km}

(como es un cociente, no hace falta pasar a metros):

g = 8\cdot\left(\frac{5000}{5500}\right)^2 = 8\cdot 0{,}826 = 6{,}61\,\text{m/s}^2

Altura a la que la gravedad es la mitad. Imponemos

g(h) = g_0/2

g_0\,\frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{g_0}{2}\quad\Longrightarrow\quad (R+h)^2 = 2R^2\quad\Longrightarrow\quad R + h = \sqrt{2}\,R

h = \left(\sqrt{2}-1\right)R = 0{,}414\cdot 5000\,\text{km} = 2071\,\text{km} \approx 2{,}07\cdot 10^{6}\,\text{m}

Consejo

La clave de «utiliza exclusivamente los datos aportados» es trabajar con el cociente $g/g_0 = R^2/r^2$ , sin $G$ ni $M$ . Si metes la masa de la Tierra, el planeta deja de ser el del enunciado.

Error típico: poner $h$ en lugar de $r = R + h$ . La distancia que manda es la del centro del planeta, y la altura pedida es sobre la superficie: resta $R$ al final.