Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

a) Geometría. Llamamos $P = (0,1)\,\text{m}$. Distancias a $P$:

• de $q_1$, en $(-1,0)$: $\vec r_1 = \vec\imath + \vec\jmath$, $r_1 = \sqrt2\,\text{m}$, $\vec u_1 = \dfrac{\vec\imath + \vec\jmath}{\sqrt2}$;
• de $q_2$, en $(1,0)$: $\vec r_2 = -\vec\imath + \vec\jmath$, $r_2 = \sqrt2\,\text{m}$, $\vec u_2 = \dfrac{-\vec\imath + \vec\jmath}{\sqrt2}$;
• de $q$, en $(0,0)$: $\vec r_3 = \vec\jmath$, $r_3 = 1\,\text{m}$, $\vec u_3 = \vec\jmath$.

Campo de cada carga. El campo de una carga puntual es $\vec E = k\,\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$. Las dos cargas laterales valen lo mismo y están a la misma distancia, así que sus campos tienen el mismo módulo:$$E_1 = E_2 = k\,\frac{q_1}{r_1^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\frac{1\cdot10^{-6}}{2} = 4{,}5\cdot10^{3}\,\text{N/C}$$Al sumarlos, las componentes $x$ se cancelan y las $y$ se suman:$$\vec E_1 + \vec E_2 = 2\,E_1\,\frac{1}{\sqrt2}\,\vec\jmath = \sqrt2\,k\,\frac{q_1}{2}\,\vec\jmath = \frac{k\,q_1}{\sqrt2}\,\vec\jmath = 6{,}36\cdot10^{3}\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$El campo de la carga del origen es$$\vec E_3 = k\,\frac{q}{r_3^2}\,\vec\jmath = k\,q\,\vec\jmath$$Condición de campo nulo. Por el principio de superposición:$$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 = \left(\frac{k\,q_1}{\sqrt2} + k\,q\right)\vec\jmath = \vec 0\quad\Longrightarrow\quad q = -\frac{q_1}{\sqrt2}$$$$q = -\frac{1\cdot10^{-6}}{\sqrt2} = -7{,}07\cdot10^{-7}\,\text{C} = -0{,}707\,\mu\text{C}$$Negativa, como esperábamos: su campo en $P$ apunta hacia ella, hacia abajo, y compensa el de las otras dos.

b) Potencial en $P$. El potencial es una magnitud escalar: se suman los de las tres cargas, con su signo:$$V_P = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} + \frac{q}{r_3}\right) = 9\cdot10^{9}\left(\frac{1\cdot10^{-6}}{\sqrt2} + \frac{1\cdot10^{-6}}{\sqrt2} - \frac{7{,}07\cdot10^{-7}}{1}\right)$$$$V_P = 9\cdot10^{9}\,(1{,}414\cdot10^{-6} - 0{,}707\cdot10^{-6}) = 9\cdot10^{9}\cdot7{,}07\cdot10^{-7} = 6{,}36\cdot10^{3}\,\text{V}$$(De forma simbólica, $V_P = \sqrt2\,k q_1 - k q_1/\sqrt2 = k q_1/\sqrt2$.)

Trabajo necesario. La carga $q' = 5\,\mu\text{C}$ parte del infinito, donde $V_\infty = 0$, en reposo, y la llevamos hasta $P$ (sin que gane energía cinética). El trabajo que hace el campo es $W_{\text{campo}} = q'\,(V_\infty - V_P) = -q' V_P$, y el que tenemos que hacer nosotros (fuerza externa) es el opuesto, igual al aumento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = q'\,(V_P - V_\infty) = q'\,V_P = 5\cdot10^{-6}\cdot6{,}36\cdot10^{3} = 3{,}18\cdot10^{-2}\,\text{J}$$Es positivo: hay que hacer trabajo contra el campo, porque en $P$ el potencial es positivo y la carga que traemos también lo es.