Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

a) Masa del satélite. De la energía cinética:$$E_c = \frac12\,m\,v^2\quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2E_c}{v^2} = \frac{2\cdot2\cdot10^{18}}{(5\cdot10^{5})^2} = \frac{4\cdot10^{18}}{2{,}5\cdot10^{11}} = 1{,}6\cdot10^{7}\,\text{kg}$$Masa del planeta. En una órbita circular, la fuerza gravitatoria que el planeta ejerce sobre el satélite es la fuerza centrípeta:$$G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{v^2\,r}{G}$$$$M = \frac{(5\cdot10^{5})^2\cdot4\cdot10^{8}}{6{,}67\cdot10^{-11}} = \frac{1\cdot10^{20}}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 1{,}50\cdot10^{30}\,\text{kg}$$(Una masa del orden de la del Sol: el «planeta» es en realidad un cuerpo enorme, coherente con la velocidad orbital tan alta.)

b) Energía potencial. Con el origen en el infinito:$$E_p = -G\,\frac{M\,m}{r}$$Como de la condición de órbita $GM/r = v^2$, resulta $E_p = -m v^2 = -2E_c$:$$E_p = -2\cdot2\cdot10^{18} = -4\cdot10^{18}\,\text{J}$$(Con los valores de a): $-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}50\cdot10^{30}\cdot1{,}6\cdot10^{7}}{4\cdot10^{8}} = -4\cdot10^{18}\,\text{J}$.)

Energía mecánica. Es la suma de las dos:$$E_m = E_c + E_p = -G\,\frac{M\,m}{2r} = 2\cdot10^{18} - 4\cdot10^{18} = -2\cdot10^{18}\,\text{J}$$Negativa: el satélite está ligado al planeta.

Energía mínima para que se aleje indefinidamente. Para escapar debe llegar al infinito ($E_p = 0$) con velocidad nula como mínimo ($E_c = 0$), es decir, con energía mecánica final $E_{m,\infty} = 0$. La energía que hay que aportarle es la diferencia:$$\Delta E = E_{m,\infty} - E_m = 0 - \left(-G\,\frac{M\,m}{2r}\right) = G\,\frac{M\,m}{2r} = 2\cdot10^{18}\,\text{J}$$Coincide con su energía cinética en la órbita: hay que duplicarla (su velocidad pasaría a ser $\sqrt2\,v$, la velocidad de escape desde esa órbita).