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Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Enunciado

Supongamos que se realiza la fusión nuclear de un núcleo de deuterio con un núcleo de tritio,

{}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{a}_{2b}\text{X} + {}^{b}_{0}\text{Y}

. Determina

a

b

e indica razonadamente qué partículas son

X

Y

. En cada reacción se generan

17{,}6\,\text{MeV}

de energía. Utilizando la anterior reacción de fusión, ¿cuántos gramos de deuterio se necesitarían para generar la energía eléctrica consumida en un año por los hogares en una ciudad como Alicante?

Datos: masa del deuterio:

m_D = 3{,}34\cdot10^{-27}\,\text{kg}

; carga elemental,

q = 1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{C}

; energía eléctrica consumida en un año por los hogares de la ciudad de Alicante,

1{,}62\cdot10^{15}\,\text{J}

(Fuente: Datos energéticos de la provincia de Alicante 2010-19, Agencia Provincial de la Energía de Alicante)

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Resultado

$a = 4$ , $b = 1$ : ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$ . $X$ es un núcleo de helio-4 (partícula alfa) e $Y$ , un neutrón.
Hacen falta $N = E/E_1 \approx 5{,}75\cdot10^{26}$ reacciones, es decir, unos $1{,}92\cdot10^{3}\,\text{g}$ ( $1{,}92\,\text{kg}$ ) de deuterio.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En toda reacción nuclear se conservan el número másico (los nucleones) y el número atómico (la carga). Eso da dos ecuaciones para

a

b

, y con sus valores identificamos las partículas. Para la segunda parte, cada fusión consume un núcleo de deuterio y libera

17{,}6\,\text{MeV}

: dividiendo la energía que hace falta entre la de una reacción sabemos cuántas reacciones (y cuántos núcleos de deuterio) se necesitan, y multiplicando por la masa de un núcleo, la masa total.

Desarrollo

Conservación de la carga (número atómico). Abajo, a la izquierda

1 + 1

y a la derecha

2b + 0

1 + 1 = 2b + 0\quad\Longrightarrow\quad b = 1

Conservación de los nucleones (número másico). Arriba, a la izquierda

2 + 3

y a la derecha

a + b

2 + 3 = a + b\quad\Longrightarrow\quad a = 5 - 1 = 4

Identificación. La reacción queda

{}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{X} + {}^{1}_{0}\text{Y}

$X$ tiene $Z = 2$ y $A = 4$ : es un núcleo de helio-4, ${}^{4}_{2}\text{He}$ (una partícula alfa).
$Y$ no tiene carga y tiene $A = 1$ : es un neutrón, ${}^{1}_{0}\text{n}$ .

Energía de una reacción en julios.

1\,\text{eV} = 1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{J}

E_1 = 17{,}6\cdot10^{6}\,\text{eV}\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{J/eV} = 2{,}816\cdot10^{-12}\,\text{J}

Número de reacciones. Para obtener

E = 1{,}62\cdot10^{15}\,\text{J}

N = \frac{E}{E_1} = \frac{1{,}62\cdot10^{15}}{2{,}816\cdot10^{-12}} = 5{,}75\cdot10^{26}\ \text{reacciones}

Masa de deuterio. Cada reacción gasta un núcleo de deuterio, así que hacen falta

N

núcleos:

m = N\,m_D = \frac{E}{E_1}\,m_D = 5{,}75\cdot10^{26}\cdot3{,}34\cdot10^{-27} = 1{,}92\,\text{kg} \approx 1920\,\text{g}

Menos de dos kilos de deuterio bastarían para la electricidad de todos los hogares de una ciudad de más de 300 000 habitantes durante un año (suponiendo que toda la energía de fusión se convirtiera en energía eléctrica).

Consejo

El corrector da 0,4 por $a$ y $b$ , 0,4 por identificar las partículas y 0,7 por la masa. Escribe las dos ecuaciones de conservación (de $A$ y de $Z$ ): poner los números sin decir qué se conserva no se considera razonado.

Ojo con la conversión de MeV a julios: son $10^{6}$ eV por MeV. Y pide los gramos: no dejes el resultado en kilogramos sin pasarlo.