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Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Enunciado

Dos partículas idénticas de carga

q = 1\,\mu\text{C}

y masa

m = 1\,\text{g}

, se encuentran inicialmente en reposo y separadas por una distancia

d = 1\,\text{m}

. Calcula la energía mecánica de una de las partículas. Supongamos que una de las partículas permanece fija mientras que la otra se deja libre, ¿cuál es su energía mecánica cuando se encuentra a una distancia de la otra partícula que es diez veces la inicial? Justifica la respuesta. Calcula su velocidad en dicho punto. Nota: considera sólo la interacción electrostática.

Dato: constante de Coulomb,

k = 9\cdot10^{9}\,\text{N m}^2/\text{C}^2

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Resultado

Energía mecánica inicial: $E_m = kq^2/d = 9\cdot10^{-3}\,\text{J}$ (toda potencial, la partícula está en reposo).
A la distancia $10d$ : sigue siendo $9\cdot10^{-3}\,\text{J}$ , porque la fuerza electrostática es conservativa.
Ahí $E_p = 9\cdot10^{-4}\,\text{J}$ , $E_c = 8{,}1\cdot10^{-3}\,\text{J}$ y $v \approx 4{,}0\,\text{m/s}$ .

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Estrategia

Al principio la partícula está quieta, así que toda su energía mecánica es energía potencial eléctrica en el campo de la otra. Al soltarla, las dos cargas (del mismo signo) se repelen y la libre se aleja ganando velocidad. La única fuerza es la electrostática, que es conservativa: la energía mecánica no cambia. A diez veces la distancia, la energía potencial es diez veces menor y lo que falta se ha convertido en energía cinética, de la que sale la velocidad.

Desarrollo

Datos en el SI.

q = 1\cdot10^{-6}\,\text{C}

m = 1\cdot10^{-3}\,\text{kg}

d = 1\,\text{m}

.

Energía mecánica inicial. La partícula está en reposo (

E_c = 0

) y su energía potencial en el campo de la otra carga es

E_{p,0} = k\,\frac{q\,q}{d} = 9\cdot10^{9}\cdot\frac{(1\cdot10^{-6})^2}{1} = 9\cdot10^{-3}\,\text{J}

E_{m,0} = E_{c,0} + E_{p,0} = 0 + 9\cdot10^{-3} = 9\cdot10^{-3}\,\text{J}

Es positiva porque las cargas tienen el mismo signo: el sistema tiende a separarse.

Energía mecánica a la distancia $10d$ . Con una partícula fija, sobre la otra solo actúa la fuerza electrostática, que es conservativa. El trabajo que hace se paga con energía potencial y se convierte en cinética, de modo que la energía mecánica se conserva:

E_m(10d) = E_{m,0} = 9\cdot10^{-3}\,\text{J}

Reparto entre potencial y cinética. A la distancia

10d = 10\,\text{m}

E_p(10d) = k\,\frac{q^2}{10d} = \frac{E_{p,0}}{10} = 9\cdot10^{-4}\,\text{J}

E_c = E_m - E_p(10d) = 9\cdot10^{-3} - 9\cdot10^{-4} = 8{,}1\cdot10^{-3}\,\text{J}

Velocidad. De

E_c = \tfrac12 m v^2

v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\,k q^2}{m}\left(\frac1d - \frac1{10d}\right)} = \sqrt{\frac{2\cdot8{,}1\cdot10^{-3}}{1\cdot10^{-3}}} = \sqrt{16{,}2} = 4{,}02\,\text{m/s}

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Consejo

Cada pregunta vale 0,5 puntos y la del medio es solo razonamiento: escribe que la única fuerza es la electrostática, que es conservativa, y que por eso $E_m$ se conserva. Sin esa frase no hay nota.

Pasa los datos al SI antes de nada: $1\,\mu\text{C} = 10^{-6}\,\text{C}$ y, sobre todo, $1\,\text{g} = 10^{-3}\,\text{kg}$ . Con la masa en gramos la velocidad sale unas 30 veces menor.