Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Ley en que nos basamos. La ley de gravitación universal de Newton: el Sol, de masa $M_S$, atrae al planeta, de masa $m$, con una fuerza dirigida hacia el Sol de módulo$$F_g = G\,\frac{M_S\,m}{r^2}$$La gravitación hace de fuerza centrípeta. En una órbita circular de radio $r$ recorrida con velocidad constante $v$, la segunda ley de Newton exige una fuerza neta hacia el centro $F_c = m\,v^2/r$. Esa fuerza es la gravitatoria:$$G\,\frac{M_S\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M_S}{r}$$Velocidad y periodo. En una vuelta el planeta recorre la circunferencia $2\pi r$ en un tiempo $T$:$$v = \frac{2\pi r}{T}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M_S}{r}$$Tercera ley de Kepler. Despejando $T^2$:$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M_S}\,r^3\qquad\Longrightarrow\qquad C = \frac{4\pi^2}{G\,M_S}$$$C$ solo depende de la constante de gravitación $G$ y de la masa del Sol, el cuerpo central: es la misma para todos los planetas del sistema solar.

¿Depende de la masa del planeta? No. La masa $m$ del planeta aparece en la fuerza gravitatoria (cuanto más masa, más fuerza) y en la inercia ($m\,v^2/r$: cuanto más masa, más fuerza hace falta para curvar su trayectoria), y los dos efectos se compensan exactamente: $m$ se cancela al igualar. Por eso dos planetas de masas muy distintas a la misma distancia del Sol tendrían el mismo periodo.